Множення

Операція множення натуральних чисел визначається через операцію додавання. Для того, щоб перемножити натуральне число ${\displaystyle \ n}$ на натуральне число ${\displaystyle \ m}$ необхідно обчислити суму, в якій число ${\displaystyle \ n}$ береться ${\displaystyle \ m}$ разів

${\displaystyle \ n\cdot m=n+n+\ldots +n.}$

Наприклад,

3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Множення натуральних чисел комутативне: від перестановки множників добуток не міняється.

Множення цілих чисел зводиться до множення натуральних чисел — абсолютних величин цих чисел, а знак добутку визначається знаками множників. Добуток береться зі знаком «плюс», якщо обидва множники додатні або від'ємні, зі знаком «мінус», якщо множники мають різні знаки.

Результатом множення будь-якого числа на нуль є нуль.

Для того, щоб помножити раціональне число ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}$ на раціональне число ${\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$ потрібно перемножити чисельники і знаменники дробів. Чисельник добутку є добутком чисельників, знаменник — добутком знаменників. При можливості проводяться скорочення.

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}\cdot {\frac {p_{1}}{q_{1}}}={\frac {p_{1}p_{2}}{q_{1}q_{2}}}}$

Кожне ірраціональне число можна подати як границю певної раціональної послідовності.

Якщо ірраціональне число ${\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$, а ${\displaystyle b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}$, то

${\displaystyle ab=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}b_{n}}$

Множення комплексних чисел визначається за формулою

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$,

або, в іншій формі запису,

${\displaystyle (x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}$,

Для векторів існує кілька типів множення. Зокрема, вектор можна помножити на дійсне число. При цьому змінюється його довжина, і, при множенні на від'ємне число, напрямок (на протилежний).

Існують різні типи добутку двох векторів: скалярний добуток, векторний добуток, тензорний добуток (тензорний добуток векторів називається також діадним).

Методи множення були записані в часи існування ще стародавніх цивілізацій: в стародавньому Єгипті, Греції, Індії і Китаї.

Кістка Ішанго, археологічна знахідка що датується близько від 18000 до 20000 рр до н. е., вказує на вміння множити ще в період пізнього палеоліту, і була знайдена у Центральній Африці.

Єгипетський метод множення цілих чисел і дробів, було описано у папірусі Рінда, і здійснювався шляхом послідовного додавання і подвоєння. Наприклад, аби знайти добуток числа 13 і 21 необхідно було подвоїти число 21 тричі, отримавши 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Повний добуток зрештою можна знайти додавши відповідні елементи знайдені у послідовності подвоєння:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Вавилонці використовували шістдесяткову позиційну систему числення, аналогічну сучасній десятковій системі. Таким чином, множення у Вавилонії було подібним до сучасного десяткового множення. Через відносну складність запам'ятовування усіх різних добутків із комбінацій 60 × 60, вавилонські математики використовували таблиці множення. Ці таблиці містили список перших двадцяти множників окремого principal number n: n, 2n, …, 20n; за якими слідують множники на 10n: 30n 40n, і 50n. Тоді, аби розрахувати добуток шістдесяткового числа, наприклад 53n, необхідно скласти значення 50n і 3n розрахованих із таблиці.

38 × 76 = 2888

У математичній праці Чжоубі Суаньцзин, що датується до 300 р. до н. е., а в Дев'яти книгах з математики, процедура множення була описана словами, хоча раніше китайські математики використовували палички для рахування таких операцій як додавання, віднімання, множення і ділення. Арифметичні алгоритми із позиційними десятковими числами потрапили до арабських країн завдяки Аль-Хорезмі на початку 9-го століття.

Сучасні методи множення основані на Індо-арабській системі числення і вперше їх описав Брамагупта. Він навів правила для додавання, віднімання, множення і ділення.

Добуток послідовності множників можна записати за допомогою спеціального символу добутку, який позначається великою літерою Π (Пі) грецького алфавіту. Значення юнікод U+220F (∏), що задає символ, який позначає таких добуток, відрізняється від коду самої літери U+03A0 (Π). Значення такого запису є наступним:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,}$

що дорівнює

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=24.}$

Індекс задає символ для довільної змінної (в даному випадку i), що називається «індексом множення», а також задається її нижня межа значення (1), а над цим задається його верхня межа значень (тут це 4). Верхня і нижня межа мають бути виразами, що задають цілі значення. Множники цього добутку отримуються за допомогою виразу, що слідує за оператором добутку, із послідовними цілими значеннями, що підставляються замість індексу множення, починаючи від нижньої межі із збільшенням що разу на 1 до верхньої межі включно. Тож, наприклад:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}$

В більш загальному випадку, нотація визначається наступним чином

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}$

де m і n це цілі або вирази, що розраховуються до цілих значень. У випадку коли m = n, значенням добутку буде таким самим, як значення одного множника x_m. Якщо m > n, добутком буде порожній добуток, що має значення 1.

Також можливо розглядати добутки нескінченної кількості множників; вони так і називаються нескінченними добутками. У вигляді нотації, це можна позначити замінивши межу n зверху на лемніскату ∞. Добуток таких послідовностей визначається як границя добутку перших n термів, при тому що n зростає до нескінченності. Що за визначенням,

${\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}$

Також можна замінити m від'ємною нескінченністю, і визначити:

${\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

обидві наведені границі існують.