Асимптота

Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Для гіперболи ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ асимптотами є осі абсцис і ординат. Крива може наближатись до своєї асимптоти, залишаючись по один бік від неї

Похила асимптота ${\displaystyle UV}$ плоскої кривої «декартів лист» (${\displaystyle \textstyle x^{3}+y^{3}=3axy}$) описується рівнянням ${\displaystyle x+y+a=0}$

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближенні x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

Види асимптот:

Вертикальна

Горизонтальна

Похила

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …) для функції у = ctg(x).

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е^−x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз.

Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ = Заху (декартів лист), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої у = kx + b — похилої асимптоти кривої у = f(x) при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі: ${\displaystyle k=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {f(x)}{x}}\right);b=\lim _{x\to \infty }\left(f(x)-kx\right)}$

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад, парабола асимптот не має.