Пряма

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах:

${\displaystyle Ax+By+C=0,\,}$

де ${\displaystyle A,B}$ та ${\displaystyle C}$ — довільні постійні, причому постійні ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ не дорівнюються нулю одночасно.

При ${\displaystyle A=0}$ пряма паралельна осі ${\displaystyle Ox}$, при ${\displaystyle B=0}$ — паралельна осі ${\displaystyle Oy}$.

Вектор з координатами ${\displaystyle (A,B)}$ називається нормальним вектором, він перпендикулярний прямій.

При ${\displaystyle C=0}$ пряма проходить через початок координат.

Також рівняння можна переписати у вигляді:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}$

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь ${\displaystyle Oy}$ у точці ${\displaystyle (0,\;b)}$ і утворює кут ${\displaystyle \varphi }$ з додатним напрямком осі ${\displaystyle Ox}$:

${\displaystyle y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .}$

Коефіцієнт ${\displaystyle k}$ називається кутовим коефіцієнтом прямої.

У цьому виді неможливо уявити пряму, паралельну осі (іноді в цьому випадку формально кажуть, що кутовий коефіцієнт стає нескінченним).

Отримання рівняння прямої у відрізках

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь ${\displaystyle Ox}$ у точці ${\displaystyle (a,\;0)}$ та вісь ${\displaystyle Oy}$ у точці ${\displaystyle (0,\;b)}$:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).}$

У цьому вигляді неможливо представити пряму, що проходить через початок координат.

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,\,}$

де ${\displaystyle p}$ — довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а ${\displaystyle \theta }$ — кут між нормальним до прямої вектором та додатним напрямом осі ${\displaystyle Ox}$. Якщо ${\displaystyle p=0}$, то пряма проходить через початок координат, а кут ${\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$ задає кут нахилу прямої.

Якщо пряма задана загальним рівнянням ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ то відрізки ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b,}$ відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт ${\displaystyle k,}$ відстань від початку координат ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ та ${\displaystyle \sin \theta }$  виражаються через коефіцієнти ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ та ${\displaystyle C}$ наступним чином:

${\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}$

Щоб уникнути невизначеності знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова ${\displaystyle p>0.}$ У цьому випадку ${\displaystyle \cos \theta }$ та ${\displaystyle \sin \theta }$ є напрямними косинусами виражаються нормалі прямої — перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму. Якщо ${\displaystyle C=0,}$ то пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.

Якщо задані дві незбіжні точки з координатами ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ та ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$, то пряма, що проходить через них задається рівнянням:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

або

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

або у загальному вигляді

${\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.}$

Отримання векторного параметричного рівняння прямої

Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{0},}$ кінець якого лежить на прямій, і напрямним вектором прямої ${\displaystyle {\vec {u}}.}$ Параметр ${\displaystyle t}$ пробігає всі дійсні значення.

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}}$

де ${\displaystyle t}$ — довільний параметр ${\displaystyle a_{x},\;a_{y}}$ — координати ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ напрямного вектора прямої. При цьому

${\displaystyle k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},}$

${\displaystyle p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.}$

Сенс параметра ${\displaystyle t}$ аналогічний параметру в векторно-параметричному рівнянні.

Канонічне рівняння виходить з параметричних рівнянь діленням одного рівняння на інше:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}}$

де ${\displaystyle ~a_{x},a_{y}}$ — координати ${\displaystyle ~x}$ та ${\displaystyle ~y}$ напрямного вектора прямої, ${\displaystyle ~x_{0}}$ та ${\displaystyle ~y_{0}}$ координати точки, що належить прямій.

Рівняння прямої в полярних координатах ${\displaystyle \rho }$ та ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0}$

або

${\displaystyle \rho \cos(\varphi -\theta )=p.\,}$

Нехай задано вектор ${\displaystyle k}$ в n-вимірному Евклідовому просторі ${\displaystyle E^{n}}$, ${\displaystyle k=(k_{i})\in E^{n}}$, та ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок ${\displaystyle x=x_{i}}$ простору ${\displaystyle E^{n}}$, координати яких представлено у вигляді:

${\displaystyle x_{i}=k_{i}+\alpha _{i}t,\qquad -\infty <t<+\infty ,\quad i=1,\dots ,n}$,

називається прямою в просторі ${\displaystyle E^{n}}$, що проходить через точку ${\displaystyle k}$ в «напрямі» ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$.[4]

Частина прямої, що відповідає зміні параметру ${\displaystyle t}$ в деякому відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ називається прямолінійним відрізком, а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку ${\displaystyle t\geq a}$, — променем.

Якщо задано дві точки ${\displaystyle (x'_{i})}$, ${\displaystyle (x''_{i})}$ то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:

${\displaystyle x_{i}=x'_{i}+(x''_{i}-x'_{i})t,\qquad -\infty <t<+\infty ,i=1,\dots ,n}$.