Афінна комбінація
Афінна комбінація — загальна назва операції, яка в векторних чи афінних просторах для певної скінченної множини точок чи векторів і множини скалярів тої ж потужності визначає деякий інший елемент векторного чи афінного простору.
Визначення
Векторні простори
Для векторних просторів афінна комбінація — лінійна комбінація векторів векторного простору над полем :
- ,
сума коефіцієнтів в якій дорівнює 1, тобто:
- .
Афінні простори
Якщо нехай позначає єдину точку афінного простору для якої
для деякої точки
З означення афінного простору точка не залежить від вибору початкової точки Тому для
можна просто записати як
Точку називають афінною комбінацією точок з коефіцієнтами
Афінна оболонка і незалежність
Для довільної підмножини S векторного чи афінного простору її афінна оболонка визначається як:
Елементи деякої множини S називаються афінно незалежними, якщо жоден елемент цієї множини не належить афінній оболонці інших елементів. Еквівалентно якщо — довільна точка підмножини S афінного чи векторного простору, то елементи множини S називаються афінно незалежними, якщо множина векторів є лінійно незалежною. Для векторного простору розмірності n можна дати еквівалентне означення: якщо і , то звідси випливає що
Для афінно незалежної множини жоден елемент її афінної оболонки визначений однозначно. Зокрема для афінного простору розмірності n афінно незалежна множина може мати щонайбільше n+1 точку. Кожна точка афінного простору однозначно визначається як афінна комбінація максимальної системи афінно незалежних векторів. Відповідні скаляри називаються барицентричними координатами точки.
Властивості
Операція афінної комбінації комутує з будь-яким афінним перетворенням в тому сенсі, що:
- .
Зокрема, будь-яка афінна комбінація нерухомих точок заданого афінного перетворення є також нерухомою точкою , так що множина нерухомих точок утворює Афінний підпростір
Коли стохастична матриця діє на вектор-стовпець , результатом буде вектор-стовпець, елементи якого є афінними комбінаціями елементів з коефіцієнтами з рядків матриці .
Див. також
- Лінійна комбінація
- Опукла комбінація
- Конічна комбінація
- Афінний простір
- Афінне перетворення
Джерела
- Jean Gallier. Глава 2 // Geometric Methods and Applications. — ISBN 978-0-387-95044-0.