Афінна комбінація

Афінна комбінація — загальна назва операції, яка в векторних чи афінних просторах для певної скінченної множини точок чи векторів і множини скалярів тої ж потужності визначає деякий інший елемент векторного чи афінного простору.

Визначення

Векторні простори

Для векторних просторів афінна комбінація лінійна комбінація векторів векторного простору над полем :

,

сума коефіцієнтів в якій дорівнює 1, тобто:

.

Афінні простори

Якщо нехай позначає єдину точку афінного простору для якої

для деякої точки

З означення афінного простору точка не залежить від вибору початкової точки Тому для

можна просто записати як

Точку називають афінною комбінацією точок з коефіцієнтами

Афінна оболонка і незалежність

Для довільної підмножини S векторного чи афінного простору її афінна оболонка визначається як:

Елементи деякої множини S називаються афінно незалежними, якщо жоден елемент цієї множини не належить афінній оболонці інших елементів. Еквівалентно якщо — довільна точка підмножини S афінного чи векторного простору, то елементи множини S називаються афінно незалежними, якщо множина векторів є лінійно незалежною. Для векторного простору розмірності n можна дати еквівалентне означення: якщо і , то звідси випливає що

Для афінно незалежної множини жоден елемент її афінної оболонки визначений однозначно. Зокрема для афінного простору розмірності n афінно незалежна множина може мати щонайбільше n+1 точку. Кожна точка афінного простору однозначно визначається як афінна комбінація максимальної системи афінно незалежних векторів. Відповідні скаляри називаються барицентричними координатами точки.

Властивості

Операція афінної комбінації комутує з будь-яким афінним перетворенням в тому сенсі, що:

.

Зокрема, будь-яка афінна комбінація нерухомих точок заданого афінного перетворення є також нерухомою точкою , так що множина нерухомих точок утворює Афінний підпростір

Коли стохастична матриця діє на вектор-стовпець , результатом буде вектор-стовпець, елементи якого є афінними комбінаціями елементів з коефіцієнтами з рядків матриці .

Див. також

Джерела

  • Jean Gallier. Глава 2 // Geometric Methods and Applications. — ISBN 978-0-387-95044-0.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.