Барицентричні координати

Барицентричні координати — координати точки ${\displaystyle n}$-вимірного афінного простору ${\displaystyle A^{n}}$, віднесені до деякої фіксованої системи з ${\displaystyle (n+1)}$-ї точки ${\displaystyle p_{0},\;p_{1},\;\ldots ,\;p_{n}}$, що належать ${\displaystyle (n-1)}$-вимірному підпросторі. Барицентричні координати введені Мебіусом 1827 році.

Нехай ${\displaystyle z}$ є довільна точка в ${\displaystyle A^{n}}$. Кожна точка ${\displaystyle x\in A^{n}}$ може бути єдиним чином визначена у вигляді суми (афінної комбінації)

${\displaystyle x=z+\alpha _{1}\cdot {\vec {zp}}_{1}+\alpha _{2}\cdot {\vec {zp}}_{2}+\ldots +\alpha _{n}\cdot {\vec {zp}}_{n},}$

де ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{n}}$ — дійсні числа, що задовольняють умові

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}=1.}$

Числа ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{n}}$ називаються барицентричними координатами точки ${\displaystyle x}$. Легко бачити, що барицентричні координати не залежать від вибору ${\displaystyle z}$.

Точка ${\displaystyle x}$, є центром тяжіння мас ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{n}}$, розташованих в точках ${\displaystyle p_{1},\;p_{2},\;\ldots ,\;p_{n}}$.