Багатогранний граф

Діаграма Шлегеля опуклого багатогранника подає його вершини і ребра як точки і відрізки на евклідовій площині, утворюючи розбиття зовнішнього опуклого багатокутника на дрібніші опуклі багатокутники. Діаграма не має самоперетинів, так що будь-який багатогранний граф є планарним. Крім того, за теоремою Балінського, цей граф є 3-вершинно-зв'язним.

Згідно з теоремою Штайніца цих двох властивостей достатньо, щоб повністю описати багатогранні графи — це є саме 3-вершинно-зв'язні планарні графи. Таким чином, якщо граф і планарний, і 3-вершинно-звязний, існує багатогранник, вершини і ребра якого утворюють граф, ізоморфний початковому[1][2]. Якщо задано такий граф, подання його у вигляді розбиття опуклого багатокутника на менші опуклі багатокутники може бути знайдене за допомогою вкладення Татта[3].

Тейт висловив гіпотезу, що будь-який кубічний багатогранний граф (тобто багатогранний граф, у якому кожна вершина інцидентна рівно трьом ребрам) має гамільтонів цикл, але цю гіпотезу було спростовано Вільямом Таттом, який побудував контрприклад — багатогранний негамільтонів граф (граф Татта). Якщо послабити умову, що граф повинен бути кубічним, з'явиться багато інших менших за розмірами негамільтонових багатогранних графів, один з них, який має 11 вершин і 18 ребер — граф Хершеля[4]. Існує також негамільтонів багатогранний граф з 11 вершинами, в якому всі грані трикутні — граф Голднера — Харарі[5].

Строго кажучи, існує константа ${\displaystyle \alpha <1}$ (показник короткості^{[уточнити]}) і нескінченна родина багатогранних графів, таких що довжина найдовшого простого шляху графу з ${\displaystyle n}$ вершинами в родині дорівнює ${\displaystyle O(n^{\alpha })}$[6][7].

У 1996 році визначено число багатогранних графів, що мають до 26 ребер[8], зокрема, число таких графів з 6, 7, ..., 21 ребрами дорівнює:

1, 0, 1, 2, 2, 4, 12, 22, 58, 158, 448, 1342, 4199, 13384, 43708, 144810[9].

Можна також перерахувати багатогранні графи за кількістю їхніх вершин, число таких графів дорівнює:

1, 2, 7, 34, 257, 2606, 32300, 440564, 6384634, 96262938, 1496225352, ...[10].

Багатогранний граф — граф простого багатогранника, якщо він є кубічним (в кожній вершині сходяться три ребра), і це граф симпліціального багатогранника, якщо він є максимальним планарним графом. Графи Халіна, утворені з планарних дерев шляхом додавання зовнішнього циклу, що проходить через всі листки дерева, утворюють інший важливий підклас багатогранних графів.

• Weisstein, Eric W. Polyhedral Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.