Правильний додекаедр

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

${\displaystyle A=(3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}})a^{2}\approx 20.6457288a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.66311896a^{3}.}$

Радіус описаної сфери (сфери що проходить через всі вершини):

${\displaystyle R=a\phi {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1.4a}$

Радіус середньої сфери (сфери що проходить через центри всіх ребер):

ʀ${\displaystyle ={\frac {a\phi ^{2}}{2}}={\frac {a}{4}}(3+{\sqrt {5}})\approx 1.3a}$

Радіус вписаної сфери (сфери що проходить через центри всіх граней):

${\displaystyle r={\frac {a\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1.1a}$

Двогранний кут між гранями:

${\displaystyle \alpha =2\arctan {\phi }\approx 116.56^{\circ }}$, де ${\displaystyle \phi }$ - золотий перетин

Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра.

Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

• Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
• Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
• Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
• У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
• Додекаедр має три зірчасті форми.

Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами: (±1, ±1, ±1): (0, ±1/φ, ±φ): (±1/φ, ±φ, 0): (±φ, 0, ±1/φ) де φ = (1+√5)/2 — золотий перетин. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116,565 градусів.