Бордизм

Неорієнтовані бордизми — найпростіший варіант бордизмів. Два гладких замкнутих ${\displaystyle n}$-вимірних многовида ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle M'}$ бордантні (обмежують, або внутрішньо гомологічні), якщо існує гладкий компактний ${\displaystyle (n+1)}$-вимірний многовид ${\displaystyle W}$ (що його називають плівкою), край якого складається з двох многовидів ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle M'}$, (або точніше многовидів ${\displaystyle M_{0}}$ і ${\displaystyle M_{1}}$ дифеоморфних, відповідно, ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle M'}$ через деякі дифеоморфізми ${\displaystyle g_{0}\colon M\to M_{0}}$ і ${\displaystyle g_{1}\colon M'\to M_{1}}$). Сукупність многовидів, бордантних один одному, називається класами бордизмів, а трійку ${\displaystyle (W,\;M_{0},\;M_{1})}$ називають бордизмом (точніше було би казати про п'ятірку ${\displaystyle (W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})}$).

Множина класів бордизмів ${\displaystyle n}$-вимірних многовидів утворюють абелеву групу ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ відносно незв'язного об'єднання, що називають групою бордизмів. Нулем в ній служить клас бордизмів, що складаються з многовидів, які є межею деякого многовиду (інші назви: ${\displaystyle M}$ — обмежуючий многовид, ${\displaystyle M}$ — внутрішньо гомологічно, або бордантно нулю). Елементом ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ оберненим даному класу бордизмів, є сам цей клас (так як об'єднання двох копій ${\displaystyle M}$ дифеоморфно межі прямого добутку ${\displaystyle M\times [0,\;1]}$). Пряма сума ${\displaystyle \Omega _{*}^{O}}$ груп ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ є комутативним градуйованим кільцем, множення у якому індуковане прямим добутком многовидів, з одиницею, заданою класом бордизмів точки.

Перший приклад — бордизм оснащених многовидів, введений в 1938 році Понтрягіним, який показав, що класифікація цих бордизмів еквівалентна обрахуванню гомотопічних груп сфер ${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})}$, і таким шляхом зміг знайти ${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$ і ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})}$. Неорієнтовані та орієнтовані бордизми були уведені в 1951—53 роках Рохліним, який обрахував ${\displaystyle \Omega _{n}^{SO}}$ для ${\displaystyle n\leqslant 4}$. Понтрягін довів, що якщо два многовида бордантні, то у них однакові характеристичні числа. Згодом виявилося, що зворотне теж вірно.

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М: Мир, 1972. — 280 с.

• ${\displaystyle h}$-кобордизм