Бор-Молерупова теорема

Теорема Бор-Молерупа ствердує, що гамма-функція, означена на $x > 0$ як

\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt

це єдина функція $f$ на проміжку $x > 0$ , яка одночасно має такі три властивості

$f (1) = 1$ , і
$f (x + 1) = x f (x)$ для $x > 0$ і
$f$ — логарифмічно опукла.

Доведення

Нехай $Γ(x)$ буде функцією з припущеними вище властивостями: $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ і $log(Γ(x))$ опукла, і $Γ(1) = 1$ . З того, що $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ ми можемо вивести

\Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)

Це нам потрібно для того, щоб $Γ(1) = 1$ змушувало $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ повторювати фукторіали всіх цілих чисел, отже тепер ми можемо сказати, що $Γ(n) = (n - 1)!$ якщо $n \in N$ і якщо $Γ(x)$ взагалі існує. З нашої формули для $Γ(x + n)$ випливає, що якщо ми повністю розуміємо $Γ(x)$ для $0 < x \leq 1,$ то ми розміємо $Γ(x)$ для всіх значень $x$ .

Нахил лінії, що з'єднує дві точки: $(x 1, log(Γ (x 1)))$ і $(x 2, log(Γ (x 2)))$ , назвемо його $S (x 1, x 2)$ , монотонно висхідний для кожного зі своїх аргументів з $x 1 < x 2,$ бо ми припустили, що $log(Γ(x))$ опукла. Отже, ми знаємо, що

{\begin{aligned}S(n-1,n)&\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)&&0<x\leq 1\\[6pt]{\frac {\log(\Gamma (n))-\log(\Gamma (n-1))}{n-(n-1)}}&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log(\Gamma (n))}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\log(\Gamma (n+1))-\log(\Gamma (n))}{n-(n+1)}}\\[6pt]{\frac {\log((n-1)!)-\log((n-2)!)}{1}}&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq {\frac {\log(n!)-\log((n-1)!)}{1}}\\[6pt]\log \left({\frac {(n-1)!}{(n-2)!}}\right)&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq \log \left({\frac {n!}{(n-1)!}}\right)\\[6pt]\log(n-1)&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq \log(n)\\x\log(n-1)&\leq \log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)\leq x\log(n)\\\log \left((n-1)^{x}\right)+\log((n-1)!)&\leq \log(\Gamma (n+x))\leq \log \left(n^{x}\right)+\log((n-1)!)\\\log \left((n-1)^{x}(n-1)!\right)&\leq \log(\Gamma (n+x))\leq \log \left(n^{x}(n-1)!\right)\\(n-1)^{x}(n-1)!&\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!&&{\text{(*)}}\\[6pt](n-1)^{x}(n-1)!&\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!\\[6pt]{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\\[6pt]{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}

Перехід ${\text{(*)}}$ можливий, бо $\log$ монотонно висхідна. Останній рядок — це сильне твердження. Зокрема, воно виконується для всіх значень $n$ . Тобто $Γ(x)$ не більша ніж правий бік для будь-якого $n$ і так само, $Γ(x)$ не менша ніж лівий бік для будь-якого $n$ . Кожну нерівність можна тлумачити як незалеєне твердження. Завдяки цьому факту, ми ми вільні обирати різні значення $n$ для правого лівого боків. Так, якщо ми збережемо $n$ для правого боку і виберемо $n + 1$ для лівого, то:

{\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}

З останнього рядку очевидно, що функція затиснена між двома виразами, звичайна практика для доведення різноманітних штук як-от існування границі або сходимості. Нехай $n \to \infty$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1

тому при переході до границі лівий і правий боки дорівнюють один одному і це означає, що

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).

У конетксті нашого доведення

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

має три властивості $Γ(x)$ . Також, доведення надає вираз для $Γ(x)$ . І остання критична частина доведення — це те. що границя послідовності унікальна. Це означає, що для будь-якого вибору $0 < x \leq 1$ може існувати лише одне $Γ(x)$ . Отже, не існує іншої функції з властивостями приписаними $Γ(x)$ .

Залишилось покажати, що $Γ(x)$ спрацьовує для всіх $x$ для яких

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

існує. Проблема полягає в тому, що ми побудували нашу першу нерівність

S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)

з обмеженням $0 < x \leq 1$ . Якщо, скажімо, $x > 1$ тоді факт того, що $S$ монотонно висхідна зробив би $S (n + 1, n) < S (n + x, n)$ , що протирічить нерівності на якій побудувоне все доведення. Але зауважте, що

{\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}

що показує як розгорнути функцію $Γ(x)$ для всіх значень $x$ де границя має місце.

Посилання

Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Bohr–Mollerup theorem. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric W. Bohr–Mollerup Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Proof of Bohr–Mollerup theorem на PlanetMath
Alternative proof of Bohr–Mollerup theorem на PlanetMath
Artin, Emil (1964). The Gamma Function. Holt, Rinehart, Winston.
Rosen, Michael (2006). Exposition by Emil Artin: A Selection. American Mathematical Society.
Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen. (Textbook in Complex Analysis)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.