Логарифмічно опукла функція

Кажуть, що функція f означена на опуклій підмножині дійсного векторного простору і така, що приймає додатні значення логарифмічно опукла чи суперопукла[1] якщо ${\displaystyle {\log }\circ f}$, композиція логарифмічної функції з f, це  — опукла функція. Логарифм страшенно сповільнює зростання початкової функції ${\displaystyle f}$, отже якщо композиція зберігає властивість опуклості, то це повинно означати, що початкова функція ${\displaystyle f}$ була 'дійсно опуклою', звідси термін суперопукла.

Логарифмічно опукла функція f — це опукла функція, бо це композиція висхідної функція ${\displaystyle \exp }$ і функції ${\displaystyle \log \circ f}$, яка опукла за припущенням. Зворотнє твердження не завжди істинно: наприклад, ${\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}$i — опукла, але ${\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}$ — ні і тому ${\displaystyle g}$ не логарифмічно опукла. З іншого боку, ${\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}$ — логарифмічно опукла, бо ${\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}$ — опукла. Важливим прикладом логарифмічно опуклої функції є гамма-функція на множині додатних дійсних.