Гамма-функція

Нотацію Γ(z) ввів Адрієн-Марі Лежандр.[1] Якщо дійсна частина комплексного числа z є додатною (Re(z) > 0), тоді інтеграл

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx}$

є абсолютно збіжним, і відомий як інтеграл Ейлера другого роду (інтеграл Ейлера першого роду визначає бета-функцію).[1] Застосувавши інтегрування частинами, можна побачити, що:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\[4pt]&={\Big [}-x^{z}e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\[4pt]&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}}$

Визначивши, що ${\displaystyle -x^{z}e^{-x}\to 0}$ при тому як ${\displaystyle x\to \infty ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\[6pt]&=z\Gamma (z)\end{aligned}}}$

Можемо розрахувати ${\displaystyle \Gamma (1){\text{:}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\[6pt]&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\[6pt]&=0-(-1)\\[6pt]&=1\end{aligned}}}$

Маємо що ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ і ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n),}$

${\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!}$

для всіх додатних цілих чисел n. Це є прикладом доведення методом математичної індукції.

Функція ${\displaystyle \Gamma (z)}$ є неперервним продовженням факторіалу ${\displaystyle n!=1,2,...,n,}$ визначеного лише для значень ${\displaystyle n=1,2,...,}$ на усю площину ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексної змінної ${\displaystyle z=(x,y)=x+iy.}$ Функція Ейлера ${\displaystyle \Gamma (z)}$ може бути визначена однією з нижченаведених формул:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}dt,\quad \mathrm {Re} \,z=x>0,}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {1}{z+k}}+\int _{1}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}dt,\quad \quad \forall z\neq 0,-1,...}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {z(z+1)\cdot \cdot \cdot (z+k-1)}{k!k^{z-1}}}.}$

Вона задовільняє наступним співвідношенням:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z),}$

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},}$

${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma (z)\Gamma (z+{\frac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}\Gamma (2z).}$

Оскільки ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,}$ то ${\displaystyle \Gamma (z+1)}$ позначається як ${\displaystyle z!}$ Згідно до визначення факторіалу, ${\displaystyle z!=\Gamma (z+1),\,0!=1.}$

Біноміальний коефіцієнт ${\displaystyle C_{z}^{n}}$ виражається через гама-функцію наступним чином:

${\displaystyle C_{z}^{n}={\frac {\Gamma (n+1)}{n!\Gamma (z-n+1)}}={\frac {z!}{n!(z-n)!}}={\frac {(-1)^{n}\Gamma (n-z)}{n!\Gamma (-z)}}.}$

Можна також представити інтеграл через гама-функцію

${\displaystyle B(z,\vartheta )=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{\vartheta -1}dt,\quad \quad \mathrm {Re} \,\vartheta >0,}$

який має назву Бета-функції. Таким чином, ${\displaystyle B(z,\vartheta )={\frac {\Gamma (z)\Gamma (\vartheta )}{\Gamma (z+\vartheta )}}.}$ [2]

При пошуку наближення для z! для комплексного числа z, виявляється, що простіше спочатку порахувати n! для деякого великого цілого числа n, а потім використати це для апроксимації значення для (n+z)!, після чого використати рекурентне рівняння m! = m (m−1)! у зворотньому порядку n разів, для того, щоб зрештою апроксимувати z!. Крім того, ця апроксимація стає точною для границі із тим як n прямує до нескінченності.

Зокрема, для деякого цілого числа m, буде так, що

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{m}}{(n+m)!}}=1\,,}$

і ми хочемо, щоб та сама формула виконувалася, якщо довільне ціле m буде замінено на довільне комплексне число z

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$

Помноживши обидві частини на z! отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}z!&=\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left[\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]^{z}\\[8pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$

Ця формула із нескінченним добутком є збіжною для всіх комплексних чисел z крім від'ємних цілих, оскільки при спробі використати рекурентне відношення m! = m (m − 1)! в зворотньому порядку до значення m = 0 призведе до ділення на нуль.

Аналогічно і гамма-функція, визначена відповідно до Ейлера як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел ${\displaystyle z}$ за виключенням недодатних цілих:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\,.}$

При такій конструкції, гамма-функція є унікальною функцією, яка одночасно задовольняє рівнянням ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ для всіх комплексних чисел ${\displaystyle z}$ крім не додатних цілих, і ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{(n-1)!\;n^{z}}}=1}$ для всіх комплексних чисел ${\displaystyle z}$.[1]

Рівняння ${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для Γ(z) до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних чисел z, крім цілих, що менші або рівні нулю.[1] Саме ця розширена версія як правило називається гамма-функцією.[1]

Визначення гамма-функції, яке дав Вейєрштрасс також є дійсним для всіх комплексних чисел z, крім недодатних цілих:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}$

де ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ - Стала Ейлера—Маскероні.[1]

Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції є Єйлерова формула відображення

${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$

з якої випливає:

${\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}$

і Формула подвоєння Лагранжа

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Формула подвоєння є особливим випадком теореми про множення Лагранжа(див. [3], Eq. 5.5.6)

${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$

Простою, але корисною властивістю, яка випливає із визначення границі, це:

${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$

Зокрема, при z = a + bi, цей добуток дорівнює

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (a+bi)|^{2}&=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}\\[4pt]|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh {(\pi b)}}}\\[6pt]|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh {(\pi b)}}}\end{aligned}}}$

Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$

яке отримують, якщо задати z = 12 у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із x = y = 12, або виконавши заміну u = √x у визначенні інтегралу гамма-функції, із чого в результаті отримають Гаусів інтеграл. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел n маємо:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!}}\end{aligned}}}$

де n!! позначає подвійний факторіал від n. Коли n = 0, n!! = 1.

Може здаватися, що поглянувши на формулу результат Γ(12) = √π можна узагальнити для інших окремих значень Γ(r) де r є раціональним числом. Однак, ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Було доведено, що Γ(n + r) є трансцендентним числом і алгебраїчно незалежним від π для будь-якого цілого n і будь-якого дробу із r = 16, 14, 13, 23, 34, 56.[4] У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числову апроксимацію.

Іншою корисною границею для асимптотичного наближення є:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} }$

Похідні гамма-функції можна описати за допомогою полігамма-функції. Наприклад:

${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}$

Для додатного цілого числа m похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут γ це Стала Ейлера—Маскероні):

${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.}$

Для Re(x) > 0 n-а похідна гамма-функції дорівнює:

Похідна функції Γ(z)

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.}$

(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній x, і використавши інтегральне правило Лейбніца.)

Використавши рівняння

${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}}$

де ζ(z) - дзета-функція Рімана, із розбиттям

${\displaystyle \pi =(\underbrace {a_{1},\dots ,a_{1}} _{k_{1}},\dots ,\underbrace {a_{r},\dots ,a_{r}} _{k_{r}}),}$

зокрема маємо

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$

Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо логарифмічно опуклою функцією. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей:

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x₁ і x₂, і для будь-якого t ∈ [0, 1],

${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$

Крім того, ця нерівність буде точною для t ∈ (0, 1).

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x і y при y > x,

${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}\right).}$

• Для будь-якого додатного дійсного числа x,

${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x).}$

Останні два твердження, випливають із визначення, так само як і твердження, що ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$, де ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ це полігамма-функція порядку 1. Аби довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ має ряд представлень для яких, при додатному дійсному x вона складається лише із додатних термів.

Логарифмічна опуклість і нерівність Єнсена разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ and ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$,

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$

Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є Нерівність Гаутсі, яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа x і будь-якогоs ∈ (0, 1),

${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}$

Представлення гамма-функції у комплексній площині. Кожна точка ${\displaystyle z}$ забарвлена відповідно до значення аргумента ${\displaystyle \Gamma (z)}$. Також показано контурний графік для модуля ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$.

3-вимірний графік абсолютних значень комплексної гамма-функції

Поведінка функції ${\displaystyle \Gamma (z)}$ для зростаючих цілих значень змінної є простою: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при ${\displaystyle z\to \infty }$, величина гамма-функції задається за допомогою формули Стірлінґа

${\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}$

де символ ${\displaystyle \sim }$ задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1[1] або асимптотично сходяться.