Букет просторів

Букет просторів топологічний простір, який інтуїтивно можна отримати склеюванням декількох топологічних просторів по одній точці в кожному просторі. Букети просторів часто використовуються в алгебричній топології для обчислень фундаментальних груп і груп гомологій.

Означення

Букет двох просторів і із виділеними точками і можна визначити як фактор-простір диз'юнктного об'єднання і

де позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що . У цьому відношенні всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать дві точки .

Подібним чином визначається букет довільної множини просторів із виділеними точками

де позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що для всіх і . Як і вище, для цього відношення всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать всі виділені точки .

Букет загалом залежить від вибору виділених точок і природним чином є простором з виділеною точкою.

Опис через категорії

Букет можна розуміти як кодобуток в категорії топологічних просторів з виділеною точкою. Крім того, букет можна розглядати як кодекартів квадрат схеми X < {•} > Y в категорії топологічних просторів, де {•} позначає простір з однієї точки.

Приклади

Букет двох кіл з виділеними точками
  • Букет двох кіл з виділеними точками є гомеоморфним «вісімці» (див. рисунок).
  • Букет з двох сфер (розмірності 2) зображений на нижньому рисунку.
  • В теорії гомотопій важливою конструкцією є ідентифікація точок, що лежать на деякому екваторі n-сфери . Отриманий при цьому простір є букетом двох сфер :

Властивості

  • Як бінарна операція, побудова букета є асоціативною і комутативною (з точністю до ізоморфізму).
  • Якщо відмічені точки допускають однозв'язні околи, то фундаментальна група букета ізоморфна вільному добутку фундаментальних груп і . Це твердження випливає з теореми Зейферта — ван Кампена.
  • Нехай X є букетом двох просторів K і L з виділеними точками p і q і до того ж виділені точки є деформаційними ретрактами для деяких своїх околів UK і VL. Остання властивість означає, що наприклад відображення є гомотоптим сталому відображенню, що для всіх елементів U приймає значення p і подібно для L і q. При цих припущеннях справедливою є рівність для редукованих гомологічних груп:
Зокрема для прикладів розглянутих вище:
  • Подібне співвідношення є справедливим і для відносних гомологічних груп:

Див. також

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.