Фундаментальна група

Нехай ${\displaystyle \ X}$ — топологічний простір, і ${\displaystyle \ x_{0}}$ — точка в ${\displaystyle \ X}$, яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень ${\displaystyle \ f\colon [0,1]\to X}$, таких що ${\displaystyle \ f(0)=f(1)=x_{0}}$. Такі функції називаються петлями в точці ${\displaystyle \ x_{0}}$.

• Дві петлі ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.

• Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:

${\displaystyle (f*g)(t)={\begin{cases}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \over 2},1]\end{cases}}}$

• Оберненою до петлі ${\displaystyle f}$ є петля

${\displaystyle {\overline {f}}(t)=f(1-t)}$ для ${\displaystyle t\in [0,1]}$. Одиничною петлею буде ${\displaystyle \varepsilon _{x_{0}}(t)=x_{0}}$ для кожного ${\displaystyle t\in [0,1]\subset \mathbb {R} }$.

Добутком двох гомотопічних класів ${\displaystyle [f]}$ і ${\displaystyle [g]}$ називається гомотопічний клас ${\displaystyle [f*g]}$ добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору ${\displaystyle X}$ з відміченою точкою ${\displaystyle x_{0}}$ і позначається ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

• Якщо ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '\,}$ і ${\displaystyle \beta \sim \beta '\,}$, то ${\displaystyle \alpha *\beta \sim \alpha '*\beta '\,}$.
• Для ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \,}$ виконується ${\displaystyle (\alpha *\beta )*\gamma \sim \alpha *(\beta *\gamma )\,}$.
• Для довільної петлі ${\displaystyle \alpha \,}$ існує ${\displaystyle \varepsilon _{x_{0}}*\alpha \sim \alpha *\varepsilon _{x_{0}}\sim \alpha \,}$ і ${\displaystyle \alpha *{\overline {\alpha }}\sim {\overline {\alpha }}*\alpha \sim \varepsilon _{x_{0}}\,}$.

Якщо ${\displaystyle X}$ — лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ замість ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ не боячись викликати плутанину.

• У ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто ${\displaystyle (\{0\},+)}$.

• Одновимірні сфери ${\displaystyle S^{1}}$ (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задану кількість разів, яка може бути додатною або від'ємною залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$.

• Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду ${\displaystyle g}$ може бути задана твірними ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$ з єдиним співвідношенням: ${\displaystyle a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\dots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1}$.

• Фундаментальною групою графу «вісімки» є вільна група з двома породжувальними елементами.

• Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
• Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
• Довільна скінченно задана група може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-вимірного многовиду.

• Фундаментальна група на сайті PlanetMath

• Фундаментальна область
• Залишково скінченна група

1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0