Фундаментальна група

Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею галузях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок у ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою гомотопічною групою.

Означення

Нехай топологічний простір, і — точка в , яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень , таких що . Такі функції називаються петлями в точці .

  • Дві петлі і вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.
  • Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:
  • Оберненою до петлі є петля
для . Одиничною петлею буде для кожного .

Добутком двох гомотопічних класів і називається гомотопічний клас добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору з відміченою точкою і позначається .

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

  • Якщо і , то .
  • Для виконується .
  • Для довільної петлі існує і .

Якщо лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати замість не боячись викликати плутанину.

Приклади

  • У , є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто .
  • Одновимірні сфери (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задану кількість разів, яка може бути додатною або від'ємною залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна .
  • Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду може бути задана твірними з єдиним співвідношенням: .
  • Фундаментальною групою графу «вісімки» є вільна група з двома породжувальними елементами.

Властивості

  • Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
  • Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
  • Довільна скінченно задана група може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-вимірного многовиду.

Посилання

Див. також

Література

  1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
  2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.