Смеш-добуток

Еквівалентно означення смеш-добутку можна дати за допомогою букету просторів.

Простори X і Y можна ідентифікувати із підпросторами X × Y, а саме X × {y₀} і {x₀} × Y. Ці підпростори перетинаються в єдиній точці: (x₀, y₀), яка є виділеною точкою у X × Y. Об'єднання цих підпросторів можна ідентифікувати із букетом просторів X ∨ Y. Ідентифікація породжується двома неперервними відображеннями: ${\displaystyle f_{1}:\ X\to X\times y_{0}\quad x\to x\times y_{0},\ f_{2}:\ Y\to x_{0}\times Y\quad y\to x_{0}\times y.}$ Відображення відправляють виділені точки просторів X і Y у виділену точку (x₀, y₀) і тому індукують відображення ${\displaystyle f:X\vee Y\to X\times y_{0}\cup x_{0}\times Y.}$ Це відображення є гомеоморфізмом.

Тоді еквівалентно можна дати означення смеш-добутку як фактор-простору

${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).}$

Якщо ${\displaystyle f:X\to A}$ і ${\displaystyle g:Y\to B}$ є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками і ${\displaystyle f\times g:X\times Y\to A\times B}$ стандартний тензорний добуток функцій, то ${\displaystyle f\times g(X\vee Y)\subset A\vee B.}$ Тому можна дати означення смеш-добутку функцій між просторами із виділеними точками: якщо ${\displaystyle x\wedge y}$ є класом еквівалентності ${\displaystyle x\times y}$ у ${\displaystyle X\wedge Y}$ то ${\displaystyle f\wedge g(x\wedge y)=f(x)\wedge g(x).}$

• Смеш-добуток будь-якого простору із виділеною точкою X із 0-сферою (яка є дискретним простором із двома точками) є гомеоморфним простору X.
• Якщо ${\displaystyle f:X\to A,\ h:A\to C}$, а також ${\displaystyle g:Y\to B,\ k:B\to D}$ є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками то ${\displaystyle (f\wedge g)\circ (h\wedge k)=(h\circ f)\wedge (k\circ g).}$
• Якщо ${\displaystyle f,f':X\to A}$ є гомотопними між собою і ${\displaystyle g,g':Y\to B}$ теж є гомотопними, то і відображення ${\displaystyle f\wedge g}$ і ${\displaystyle f'\wedge g'}$ є гомотопними. Також ${\displaystyle f\wedge g}$ є гомеоморфізмом, якщо гомеоморфізмами є ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g.}$
• Для будь-яких трьох просторів ${\displaystyle X,Y,Z}$ із виділеними точками простори ${\displaystyle (X\vee Y)\wedge Z}$ і ${\displaystyle (X\wedge Z)\vee (Y\wedge Z)}$ є гомеоморфними.
• Якщо додатково ${\displaystyle X,Y}$ є компактними просторами і ${\displaystyle Y}$ є гаусдорфовим або ${\displaystyle Y,Z}$ є компактними просторами і ${\displaystyle Z}$ є гаусдорфовим то також ${\displaystyle (X\wedge Y)\wedge Z\cong X\wedge (Y\wedge Z).}$
• Натомість для категорії усіх топологічних просторів з виділеними точками, остання властивість не виконується. Як контрприклад можна розглянути ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle Z=\mathbb {N} }$.[2][3]
• Категорії просторів із виділеними точками (наприклад компактно породжені простори) у яких існують натуральні (із збереженням виділених точок) гомеоморфізми

  ${\displaystyle {\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z)\end{aligned}}}$

є симетричною моноїдальними категоріями де смеш-добуток є моноїдальним добутком, а 0-сфера є одиничним об'єктом. Смеш-добуток можна розглядати як тензорний добуток у відповідній категорії просторів з виділенимими точками.

Візуалізація смеш-добутку ${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}}$, як фактор-простору ${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})/(S^{1}\vee S^{1})}$.

• Смеш-добуток двох кіл є фактор-простором тора гомеоморфним 2-сфері.
• Смеш-добуток двох сфер S^m і Sⁿ є гомеоморфним сфері S^m+n.

Якщо позначити ${\displaystyle E^{n}}$ одиничну кулю відповідної розмірності, то ${\displaystyle S^{n}}$ є гомеоморфною ${\displaystyle E^{n}/S^{n-1}.}$ Також існує гомеоморфізм між парами просторів ${\displaystyle (E^{n+m},S^{n+m-1})}$ і ${\displaystyle (E^{n}\times E^{m},E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m})}$ і тому фактор-простір ${\displaystyle (E^{n+m}/S^{n+m-1})}$ є гомеоморфним фактор-простору ${\displaystyle E^{n}\times E^{m}/E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m}.}$

Розглянемо тепер композицію відображення ${\displaystyle E^{n}\times E^{m}\to (E^{n}/S^{n-1})\times (E^{m}/S^{m-1})\to (E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}),}$ де оба відображення є очевидними відображеннями на фактор-простори. Ця композиція є відображенням простору ${\displaystyle E^{n}\times E^{m}}$ на фактор-простір по підпростору ${\displaystyle E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m}.}$ Образ цього підпростору є виділеною точкою у ${\displaystyle (E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}).}$ Тому ${\displaystyle (E^{n}\times E^{m})/(E^{n}\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^{m})}$ є гомеоморфним ${\displaystyle (E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}).}$ Разом з попереднім звідси випливає, що ${\displaystyle (E^{n+m}/S^{n+m-1})}$ є гомеоморфним ${\displaystyle (E^{n}/S^{n-1})\wedge (E^{m}/S^{m-1}).}$ І остаточно звідси одержується гомеоморфізм ${\displaystyle S^{n+m}}$ і ${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}.}$

• Смеш-добуток простору X із колом є гомеоморфним редукованій надбудові X:

  ${\displaystyle \Sigma X\cong X\wedge S^{1}.}$

• Аналогічно із редукованою надбудовою за допомогою смеш-добутку можна дати означення редукованого конуса: для простору X редукованим конусом називається смеш-добуток ${\displaystyle X\wedge I,}$ де ${\displaystyle I}$ позначає одиничний відрізок ${\displaystyle [0,1].}$ Редукований конус є стягуваним простором.
• k-разове застосування редукованої надбудови до простору X приводить до простору гомеоморфного смеш-добутку X і k-сфери

  ${\displaystyle \Sigma ^{k}X\cong X\wedge S^{k}.}$

Аналогію між тензорним добутком і смеш-добутком можна більш точно описати за допомогою спряжених функторів. У категорії модулів над комутативним кільцем R, функтор тензорного добутку ${\displaystyle (-\otimes _{R}A)}$ є лівим спряженим до функтора Hom ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}$ тобто:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)).}$

У категорії просторів із виділеними точками, смеш-добуток відіграє роль тензорного добуток у цій формулі. Зокрема, якщо A є локально компактним гаусдорфовим простором, тоді є спряження:

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\mathrm {Maps_{*}} (A,Y))}$

де ${\displaystyle \operatorname {Maps_{*}} }$ позначає неперервні відображення, що відображають виділену точку у виділену точку і на ${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (A,Y)}$ задана компактно-відкрита топологія.

Зокрема, якщо ${\displaystyle A}$ є одиничне коло ${\displaystyle S^{1}}$, то функтор надбудови ${\displaystyle \Sigma }$ є лівим спряженим до функтора простору петель ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\Omega Y).}$

• Букет просторів
• Надбудова (топологія)
• Тензорний добуток

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.