Висота трикутника

Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника. В гострокутному — всередині трикутника. В прямокутному трикутнику збігається з вершиною прямого кута.

Ілюстрація доведення теореми про перетин висот трикутника

Доведення теореми про перетин висот трикутника

Розглянемо довільний трикутник ${\displaystyle ABC}$ і доведемо, що прямі ${\displaystyle AA_{1}}$, ${\displaystyle BB_{1}}$, ${\displaystyle CC_{1}}$, які містять його висоти, перетинаються в одній точці.

Проведемо через кожну вершину трикутника ${\displaystyle ABC}$ пряму, паралельну протилежній стороні. Дістанемо трикутник ${\displaystyle A_{2}B_{2}C_{2}}$. Точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$ є серединами сторін цього трикутника. Справді, ${\displaystyle AB=A_{2}C}$ і ${\displaystyle AB=CB_{2}}$ як протилежні сторони паралелограмів ${\displaystyle ABA_{2}C}$ і ${\displaystyle ABCB_{2}}$, а тому точка ${\displaystyle C}$ є серединою стороною ${\displaystyle A_{2}B_{2}}$. Аналогічно точки ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ є серединами сторін ${\displaystyle B_{2}C_{2}}$ та ${\displaystyle A_{2}C_{2}}$ відповідно.

Крім того, як випливає з побудови, ${\displaystyle AA_{1}\perp B_{2}C_{2}}$, ${\displaystyle BB_{1}\perp A_{2}C_{2}}$ і ${\displaystyle CC_{1}\perp A_{2}B_{2}}$. Таким чином, прямі ${\displaystyle AA_{1}}$, ${\displaystyle BB_{1}}$, ${\displaystyle CC_{1}}$ є серединними перпендикулярами до сторін трикутника ${\displaystyle A_{2}B_{2}C_{2}}$, а тому перетинаються в одній точці як серединні перпендикуляри (відомо, що серединні перпендикуляри в довільному трикутнику перетинаються в одній точці).

• У рівностороннього трикутника всі три висоти рівні.
• В рівнобедреному трикутнику (трикутник в якому дві сторони конгруентні) висота проведена до його основи є одночасно і медіаною, і бісектрисою.

Висота в рівнобедреному трикутнику є одночасно і медіаною, і бісектрисою.

Доведення.

Нехай дано рівнобедрений трикутник ${\displaystyle ABC}$ (${\displaystyle AC=BC}$). Опустимо з вершини ${\displaystyle C}$ на основу ${\displaystyle AB}$ висоту ${\displaystyle CD}$. Утворилося два прямокутних трикутники: ${\displaystyle ACD}$ та ${\displaystyle BCD}$. Оскільки ці прямокутні трикутники мають спільний катет ${\displaystyle CD}$ та конгруентні (рівні) гіпотенузи ${\displaystyle AC}$ та ${\displaystyle BC}$ (за умовою), то ці трикутники конгруентні за катетом та гіпотенузою (див. ознаки рівності трикутників). Звідси маємо, що й інші два катети в цих трикутників конгруентні між собою, тобто ${\displaystyle AD=BD}$. Остання рівність означає, що висота ${\displaystyle CD}$ в рівнобедреному трикутнику ${\displaystyle ABC}$ є також і медіаною цього трикутника. Також з конгруентності трикутників ${\displaystyle ACD}$ та ${\displaystyle BCD}$ випливає рівність відповідних кутів ${\displaystyle \angle ACD}$ та ${\displaystyle \angle BCD}$. Звідси маємо, що висота ${\displaystyle CD}$ є бісектрисою кута ${\displaystyle \angle C}$ , оскільки вона ділить цей кут на два рівних кути.

• Справедливе і обернене твердження: якщо висота є одночасно медіаною і бісектрисою, то трикутник рівнобедрений. Хоча достатньо вимагати, щоб висота була або медіаною, або бісектрисою, адже ці твердження випливають одне з одного.

Доведення.

Нехай висота ${\displaystyle CD}$ трикутника ${\displaystyle ABC}$ є також і його медіаною. Тоді, за означенням медіани, ${\displaystyle AD=BD}$. Тоді прямокутні трикутники ${\displaystyle ACD}$ та ${\displaystyle BCD}$ конгруентні за двома катетами, оскільки ${\displaystyle AD=BD}$, а катет ${\displaystyle CD}$ в них спільний. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні. Отже, ${\displaystyle AC=BC}$, а тому трикутник ${\displaystyle ABC}$ є рівнобедреним.

Нехай висота ${\displaystyle CD}$ трикутника ${\displaystyle ABC}$ є також і його бісектрисою. Тоді, за означенням бісектриси, ${\displaystyle \angle ACD=\angle BCD}$. Тоді прямокутні трикутники ${\displaystyle ACD}$ та ${\displaystyle BCD}$ конгруентні за спільним катетом ${\displaystyle CD}$ та гострими кутами ${\displaystyle \angle ACD}$ та ${\displaystyle \angle BCD}$. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні. Отже, ${\displaystyle AC=BC}$, а тому трикутник ${\displaystyle ABC}$ є рівнобедреним.

• Якщо в трикутнику дві висоти рівні, то трикутник — рівнобедрений, причому рівними будуть сторони, на які опущено висоту.

Висоти, опущені на бічні сторони рівнобедреного трикутника, рівні між собою

Доведення.

І спосіб.

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle AF}$ та ${\displaystyle BD}$ — його висоти, причому ${\displaystyle AF=BD}$. Тоді прямокутні трикутники ${\displaystyle ACF}$ та ${\displaystyle BCD}$ конгруентні за катетом та гострим кутом, оскільки для цих трикутників кут ${\displaystyle \angle C}$ є спільним. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні, тобто ${\displaystyle AC=BC}$, а тому трикутник ${\displaystyle ABC}$ є рівнобедреним.

ІІ спосіб.

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle AF}$ та ${\displaystyle BD}$ — його висоти, причому ${\displaystyle AF=BD}$. Тоді прямокутні трикутники ${\displaystyle ADB}$ та ${\displaystyle ABF}$ конгруентні за катетом та спільною гіпотенузою ${\displaystyle AB}$. З конгруентності цих трикутників випливає, що і кути ${\displaystyle \angle DAB}$ та ${\displaystyle \angle FBA}$ конгруентні. А це є достатньою умовою, щоб трикутник ${\displaystyle ABC}$ був рівнобедреним.

• Справедливе і обернене твердження: в рівнобедреному трикутнику висоти, опущені на бічні сторони, рівні між собою.

Доведення.

Нехай дано рівнобедрений трикутник ${\displaystyle ABC}$ (${\displaystyle AC=BC}$), ${\displaystyle AF}$ та ${\displaystyle BD}$ — його висоти. За властивістю рівнобедреного трикутника, кути при основі рівні між собою, тобто ${\displaystyle \angle CAB=\angle CBA}$. Тоді прямокутні трикутники ${\displaystyle ADB}$ та ${\displaystyle ABF}$ конгруентні за спільною гіпотенузою ${\displaystyle AB}$ та гострим кутом. З конгруентності цих трикутників випливає, що і катети ${\displaystyle AF}$ та ${\displaystyle BD}$ конгруентні, тобто ${\displaystyle AF=BD}$.

Основи висот утворюють так званий ортоцентричний трикутник, що володіє власними властивостями.

• Описане навколо ортоцентричного трикутника коло є так званим колом Ейлера. На цьому колі окрім основ висот даного трикутника (вершин ортоцентричного трикутника) також лежать три середини сторін трикутника та три середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника (див. Коло дев'яти точок).

• У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника (сторона ортоцентричного трикутника), відсікає трикутник подібний даному.
• Висоти трикутника є бісектрисами відповідного йому ортоцентричного трикутника.
• Вершини трикутника є центрами зовнівписаних кіл відповідного йому ортоцентричного трикутника.
• Серед усіх трикутників, вершини яких по одній лежать на сторонах даного трикутника, ортоцентричний має найменший периметр.
• У трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, що лежать на двох сторонах, антипаралельний третій стороні, з якою він не має спільних точок. Через два його кінці та два кінці третьої згаданої сторони завжди можна провести коло.

• Якщо трикутник різносторонній, то його внутрішня бісектриса, проведена з будь-якої вершини, лежить між внутрішніми медіаною та висотою, проведеними із тієї ж вершини, що рівносильно нерівності ${\displaystyle h_{a}<l_{a}<m_{a}}$.

• Висота трикутника ізогонально спряжена діаметру (радіусу) описаного кола, проведеного з тієї ж самої вершини, тобто прямі, що містять цей радіус та висоту є симетричними відносно бісектриси кута при цій же вершині.
• Два трикутники конгруентні за трьома висотами.
• У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібних даному.

• ${\displaystyle h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta }$.
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}$, де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ — сторони трикутника, а ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$, ${\displaystyle h_{c}}$ — висоти, опущені на відповідні сторони трикутника.
• ${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}}}$, де ${\displaystyle S}$ — площа трикутника, ${\displaystyle a}$ — сторона трикутника, до якої проведена висота, ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ — бічні сторони, ${\displaystyle R}$ — радіус описаного кола.
• ${\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}$, де ${\displaystyle r}$ — радіус вписаного кола.
• ${\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}$, де ${\displaystyle S}$ — площа трикутника.
• ${\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}}$, ${\displaystyle a}$ — сторона трикутника до якої проведена висота ${\displaystyle h_{a}}$ (наслідок з попередньої формули).
• Висота ${\displaystyle h_{c}}$ рівнобедреного трикутника, проведена до основи, обчислюється за формулою ${\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\cdot }{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$, де ${\displaystyle c}$ — основа рівнобедреного трикутника, а ${\displaystyle a}$ — бічна сторона. Зокрема, коли трикутник рівносторонній, формула набуває вигляду ${\displaystyle h=a{\cdot }{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, де ${\displaystyle a}$ — сторона трикутника.

Нехай ${\displaystyle h}$ — висота прямокутного трикутника ${\displaystyle ABC}$, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n}$, які є проєкціями катетів ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ на гіпотенузу ${\displaystyle c}$ відповідно. Тоді справедливі наступні рівності:

1. ${\displaystyle h^{2}=n{\cdot }m}$
2. ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$
3. ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$
4. ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$

Доведення.

Трикутники ${\displaystyle ACH}$, ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).

З подібності трикутників ${\displaystyle ACH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{a}}={\frac {b}{c}}={\frac {n}{b}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle b^{2}=c{\cdot }n}$ та ${\displaystyle h{\cdot }c=a{\cdot }b}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$.

З подібності трикутників ${\displaystyle BCH}$ та ${\displaystyle ABC}$ маємо, що ${\displaystyle {\frac {h}{b}}={\frac {a}{c}}={\frac {m}{a}}}$. Звідси випливає, що ${\displaystyle a^{2}=c{\cdot }m}$. Також звідси випливає рівність ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$.

Оскільки ${\displaystyle h={\frac {a{\cdot }n}{b}}}$ та ${\displaystyle h={\frac {b{\cdot }m}{a}}}$, то, помноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо ${\displaystyle h^{2}={\frac {a{\cdot }n}{b}}{\cdot }{\frac {b{\cdot }m}{a}}=n{\cdot }m}$.

Таким чином доведено всі чотири рівності.

Рівність ${\displaystyle h^{2}=n{\cdot }m}$ можна переписати наступним чином: ${\displaystyle h={\sqrt {n{\cdot }m}}}$. Це означає, що довжина висоти прямокутного трикутника, опущеної з вершини прямого кута на гіпотенузу, є середнім геометричним довжин відрізків, на які ця висота ділить гіпотенузу.

• Медіана трикутника
• Бісектриса
• Ортоцентрична система
• Ортоцентр

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
• Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
• Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5