Вибіркові дисперсії

Є випадкова вибірка ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ обсягу n.

Вибірковою дисперсією s² називається половина середнього квадрата ${\displaystyle \nu ^{2}\,}$ відхилень значень вибірки:[1]

${\displaystyle s^{2}\equiv {\frac {\nu ^{2}}{2}}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(x_{j}-x_{i})^{2}}$.

Вибірковою дисперсією S² називається половина середнього квадрата ${\displaystyle d^{2}\,}$ різниць значень вибірки:[2]

${\displaystyle S^{2}\equiv {\frac {d^{2}}{2}}={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(x_{j}-x_{i})^{2}}$.

Теореми

Дисперсія s² — це різниця середнього значення ${\displaystyle {\overline {x^{2}}}}$ квадратів елементів вибірки і квадрата ${\displaystyle {\overline {x}}^{2}}$ вибіркового середнього:[3]

${\displaystyle s^{2}={\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}}$.

Дисперсія S² є різниця середнього значення ${\displaystyle {\overline {x^{2}}}}$ квадратів елементів вибірки і середнього значення ${\displaystyle {\overline {x_{i}x_{j}}}}$ добутку двох її елементів:[3]

${\displaystyle S^{2}={\overline {x^{2}}}-{\overline {x_{i}x_{j}}}}$.

Вибіркові дисперсії мають такий вигляд:[3]

${\displaystyle s^{2}={\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$;

${\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$.

Твердження

Вибіркові дисперсії s², S² — це числа. Згідно з теоремою ймовірностей про сталі величини, математичні сподівання цих величин виглядають так:[4]

${\displaystyle \operatorname {E} (s^{2})=s^{2}}$.

${\displaystyle \operatorname {E} (S^{2})=S^{2}}$.

Наслідок

Вибіркову дисперсію S² не можна вважати незміщеною оцінкою генеральної дисперсії σ².

Властивості

Дисперсія s² є оцінка генеральної дисперсії ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {D} (X)}$.

Дисперсія S² — це оцінка генеральної дисперсії ${\displaystyle \Sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)}$.

Джерела інформації

1. Пряха Б. Явні означення вибіркових дисперсій // Геодезія, картографія і аерофотознімання. — Л.: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка». — 2007. — Вип. 69. — С. 110-117.
2. Пряха Б.Г. До оцінки похибок вимірювань у геодезичних побудовах // Вісник геодезії та картографії. — 2002. — № 4(27). — С. 11-18.
3. Пряха Б., Білецький Р., Федьорко Я. Особливості вибіркових дисперсій // Геодезія, картографія і аерофотознімання. — Л.: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка». — 2007. — Вип. 69. — С. 118-122.
4. Пряха Б.Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108. — ISBN 978-966-2188-04-2.

Див. також

• Вимірювання
• Дисперсія випадкової величини
• Вибірка