Міри розсіяння

Відхилення — різниця між значенням випадкової величини та її математичним сподіванням. У випадку вибірки відхилення — різниця між значенням величини та її середнім значенням.

Абсолютне значення відхилення показує, наскільки далеко лежить величина від центрального значення, в той час як його знак вказує, менше воно чи перевищує середнє значення. Якщо представляє інтерес лише величина відхилення без знаку, то використовують абсолютне відхилення.

Відхилення від математичного сподівання часто називають похибкою, наприклад, в соціології, в метрології тощо. В теорії похибок відхилення похибки як випадкової величини від її математичного сподівання називається випадковою похибкою[2].

Відхилення характеризує розсіяння конкретного значення, але не є характеристикою генеральної сукупності чи вибірки, із якої походить це значення.

Розмах ${\displaystyle R}$ є вибірковою мірою розсіяння, що являє собою різницю між найбільшим та найменшим із значень вибірки[3]:

${\displaystyle R=x_{max}-x_{min}}$,

де ${\displaystyle x_{max},x_{min}}$- відповідно максимальне та мінімальне значення із вибірки.

Це одна з найпростіших статистичних мір розсіяння. Дає інформацію про ширину інтервалу, в якому зосереджений весь набір числових даних, геометрично — ширина відрізка, в якому розташовуються всі значення.

Розмах відноситься до порядкових статистик.

Перевагами цієї міри розсіяння перед іншими є простота розрахунку, наочність та інтуїтивна зрозумілість. Недоліком розмаху є те, що він не враховує інформацію про характер розподілу результатів в інтервалі розсіяння, оскільки не бере до уваги інші значення, крім крайніх значень, незручний для математичних перетворень. Він також дуже чутливий до викидів, які можуть бути у вибірці.

Для врахування інформації про характер розподілу необхідно, щоб під час розрахунку міри брались до уваги всі можливі значення випадкової величини. Якщо є вибірка ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{i},...,x_{n}}$ значень випадкової величини ${\displaystyle X}$, то, на перший погляд, такою мірою для вибірки може бути середнє відхилення ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum {\bigl (}x_{i}-{\bar {x}}{\bigr )}}$, відповідним аналогом якого для генеральної сукупності є центральний момент першого порядку - математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання. Тут ${\displaystyle {\bar {x}}}$ - середнє арифметичне значення. Однак ці міри, як для вибірки, так і для генеральної сукупності, тотожно рівні 0. Дійсно, наприклад, для вибірки

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum {\bigl (}x_{i}-{\bar {x}}{\bigr )}={\frac {1}{n}}\sum x_{i}-{\frac {1}{n}}\sum {\bar {x}}={\bar {x}}-{\frac {n\cdot {\bar {x}}}{n}}\equiv 0}$.

"Занулення" цієї міри відбувається тому, що в сумі протилежні за знаком відхилення компенсують одне одного. Для уникнення занулення міри замість відхилень достатньо взяти їх абсолютні значення. Тоді для вибірки середнє абсолютне відхилення [1]

${\displaystyle d={\frac {1}{n}}\sum |x_{i}-{\bar {x}}|}$,

Перехід від лінійних відхилень до їх абсолютних значень дозволяє уникнути занулення міри.

Середнє абсолютне відхилення для генеральної сукупності — математичне сподівання абсолютного відхилення випадкової величини ${\displaystyle X}$ від її математичного сподівання:

${\displaystyle d=E|X-\mu |}$,

де ${\displaystyle \operatorname {E} }$ - оператор математичного сподівання,

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$ - математичне сподівання величини ${\displaystyle X}$ .

Середнє абсолютне відхилення дає інформацію, наскільки далеко від центру розподілу в середньому знаходяться значення випадкової величини. В порівнянні з розмахом має перевагу в тому, що розраховується за всіма значеннями, тому містить інформацію про характер розподілу значень, менш чутливе до викидів. Разом з тим, середнє абсолютне відхилення незручне для математичних перетворень, що, значною мірою, і обумовило відносно нешироке використання цієї міри розсіяння.

Ще один спосіб уникнути занулення міри розсіяння - усереднювати не відхилення, а квадрати відхилень. Відповідна міра розсіяння для вибірки — середнє із квадратів відхилень від середнього значення - називається вибірковою дисперсією:

${\displaystyle D={\tfrac {1}{n}}\sum {{\bigl (}x_{i}-{\bar {x}}{\bigr )}}^{2}}$.

Вибіркова дисперсія є статистичною оцінкою генеральної дисперсії. На відміну від дисперсії для генеральної сукупності її статистична оцінка є випадковою величиною, оскільки розраховується через випадкові значення.

Дисперсія для генеральної сукупності — центральний момент другого порядку випадкової величини або, іншими словами, математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

${\displaystyle \operatorname {D} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]}$.

Дисперсія генеральної сукупності є невипадковою (постійною) величиною[4].

Дисперсія серед інших мір розсіяння виділяється тим, що зручна для математичних перетворень, наприклад, дисперсія суми двох незалежних випадкових величин є сумою їх дисперсій. Зручність математичних перетворень з дисперсією стала причиною розробки значного числа статистичних методів, в яких вона використовується, зокрема, дисперсійного аналізу, різних методів перевірки статистичних гіпотез тощо. Дисперсія поряд із стандартним відхиленням є однією з найбільш використовуваних мір розсіяння.

Недоліками дисперсії як міри розсіяння є її ненаочність, що утруднює її розуміння, а також нестійкість до викидів, оскільки сумуються квадрати відхилень, що збільшує вагу великих відхилень. Певною незручністю при використанні дисперсії є також те, що розмірність дисперсії - квадрат розмірності випадкової величини.

Стандартне відхилення є додатнім квадратним коренем із дисперсії:

${\displaystyle \sigma =+{\sqrt {D}}}$.

Як і дисперсія характеризує розсіяння значень навколо центру розподілу: більшому значенню стандартного відхилення відповідає більший їх розкид. Практична перевага стандартного відхилення як міри розсіяння в порівнянні з дисперсією полягає в тому, що його розмірність збігається з розмірністю випадкової величини, що в ряді випадків робить його зручнішою мірою розсіяння.

Коефіцієнт варіації (${\displaystyle CV}$ або ${\displaystyle RSD}$) — відношення стандартного відхилення до середнього значення:

${\displaystyle RSD={\tfrac {\sigma }{\bar {x}}}\cdot 100\%}$.

Має зміст для величин, що вимірюються в шкалах відношень (шкали з абсолютним нулем). Використовується для порівняння ступеня розсіяння випадкових величин різного роду, коли вони виражені в різних одиницях.

Розглянуті вище міри розсіяння в більшій чи меншій мірі нестійкі до викидів. В 1816 році К. Ф. Гаусс в науковій статті про визначення точності числових спостережень[5] запропонував робастну (стійку до викидів) міру розсіяння - медіану абсолютного відхилення.

В загальному випадку медіана абсолютного відхилення:

${\displaystyle MAD=Me{\bigl (}|X-Me(X)|{\bigr )}}$,

де ${\displaystyle Me}$ - оператор медіани,

${\displaystyle Me{\bigl (}X{\bigr )}}$ - медіана випадкової величини.

Медіана абсолютних відхилень в порівнянні з іншими мірами розсіяння є стійкою оцінкою до викидів, що виниклі в наборі даних. У стандартному відхиленні чи дисперсії відхилення від середнього беруться у квадраті, тому більші відхилення мають більшу вагу і, таким чином, викиди сильніше впливають на них. У ${\displaystyle MAD}$ невелика, як правило, кількість викидів не має ніякого значення[6].

Крім того, що MAD — надійніша оцінка розсіяння, ніж дисперсія вибірки або стандартне відхилення, вона краще працює з розподілами без середнього або дисперсії типу, наприклад, розподілу Коші.

Недоліком міри є великі затрати обчислювальних ресурсів під час її обчислення для великих наборів даних. Крім того, медіана абсолютних відхилень, як і середнє абсолютних відхилень, незручна для математичних перетворень, тому великого поширення ця міра розсіяння не отримала.

Міжквартильний розмах як і розмах є порядковою статистикою. Як уже зазначалося, розмах дуже чутливий до викидів. Для того, щоб позбутися чутливості до викидів, можна розраховувати розмах після відкидання екстремальних значень. Такий тип мір розсіяння спирається на поняття процентилів. Міжквартильний розмах ${\displaystyle IQR}$ — це різниця між 75-м ${\displaystyle x_{75}}$ та 25-м ${\displaystyle x_{25}}$процентилями[7]:

${\displaystyle IQR=x_{75}-x_{25}}$.

Міжквартильний розмах поряд з медіаною абсолютних відхилень є робастною мірою. Недоліком цієї міри розсіяння є те, що вона в порівнянні з розмахом менш зрозуміла, незручна для математичних операцій та необхідні великі обчислювальні затрати під час її оцінки для великих наборів даних, оскільки потрібно відсортувати всю вибірку.

Дисперсія Алана є мірою стабільності різних приладів: годинників, генераторів тощо. Оцінює стабільність, обумовлену шумовими процесами, а не систематичними ефектами. Визначається як половина середнього значення квадратів різниць між послідовними показами відхилення частоти, відібраних за період вибірки[8].