Внутрішня метрика

Нехай задано топологічний простір ${\displaystyle X}$ і обраний клас деяких допустимих шляхів ${\displaystyle \Gamma }$, що міститься в множині всіх неперервних шляхів в ${\displaystyle X}$.

• На просторі ${\displaystyle X}$ заданий функціонал довжини, якщо на множині ${\displaystyle \Gamma }$ задана функція ${\displaystyle L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty }$, що ставить у відповідність кожному ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ значення ${\displaystyle L(\gamma )}$ (невід'ємне число або нескінченність), яке називається довжиною шляху ${\displaystyle \gamma }$.

• Метрика ${\displaystyle \rho }$ на просторі ${\displaystyle X}$ називається внутрішньою, якщо для будь-яких двох точок ${\displaystyle x,y\in X}$ відстань між ними визначається формулою ${\displaystyle \rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},}$, де інфімум береться по всіх допустимих шляхах, що з'єднують точки ${\displaystyle x,y\in X}$.

• Якщо ${\displaystyle (X,\rho )}$ — простір з внутрішньої метрикою, то для будь-яких двох точок ${\displaystyle x,y\in X}$ і будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує їх ${\displaystyle \varepsilon }$-середина. У випадку, коли метричний простір ${\displaystyle (X,\rho )}$ повний, має місце і зворотне твердження: якщо для будь-яких двох точок ${\displaystyle x,y\in X}$ і будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує їх ${\displaystyle \varepsilon }$-середина, то ця метрика внутрішня.
• Повний метричний простір ${\displaystyle (X,\rho )}$ з внутрішньої метрикою має наступну властивість: для будь-яких двох точок ${\displaystyle x,y\in X}$ і ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться крива довжини ${\displaystyle <\rho (x,y)+\varepsilon ,}$ що з'єднує точки ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$. Крім того, в повному метричному просторі з внутрішньої метрикою довжина найкоротшої збігається з відстанню між її кінцями.
• Теорема Хопфа — Рінова: Якщо ${\displaystyle (X,\rho )}$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньої метрикою, то будь-які дві точки ${\displaystyle X}$ можна з'єднати найкоротшою. Більш того, простір ${\displaystyle X}$ є обмежено компактним (тобто всі обмежені замкнуті підмножини ${\displaystyle X}$ є компактними).

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4