Компактний простір

Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.

В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.

В математичному аналізі компактна множина — це обмежена й замкнута множина в $\mathbb {R} ^{n}$ .

Пов'язані визначення

Підмножину топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називають компактною множиною або компактом.
Множину називають відносно компактною чи передкомпактною, якщо її замикання компактне.
Локально компактний простір — топологічний простір, в якому будь-яка точка має окіл, замикання якого компактне.
Секвенційно компактний простір — топологічний простір, у якому з кожної послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
Зліченно компактний простір — топологічний простір, із кожного зліченного покриття якого можна виділити скінченне підпокриття.
Слабко зліченно компактний простір — має таку властивість, що кожна нескінченна підмножина має граничну точку.

Властивості

Загальні властивості

Кожна замкнена підмножина компактного топологічного простору є компактною
Для будь-якого неперервного відображення образ компакта — компакт.
Компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнена.
Теорема Тихонова: добуток довільного числа компактних множин (з топологією добутку) компактний.
Будь-яке неперервне взаємно-однозначне відображення компакта в гаусдорфів простір є гомеоморфізмом.
У компактних просторах кожне центроване сімейство замкнених множин, тобто сімейство, в якому перетини скінченних підсімейств не порожні, має непорожній перетин. Див. також Лема про вкладені відрізки.
Кожна неперервна функція із компактного топологічного простору в $\mathbb {R} ^{n}$ є обмеженою і досягає свого найбільшого і найменшого значення.
Образ компактного топологічного простору при неперервному відображенні також є компактним

Властивості компактних метричних просторів

Метричний простір компактний тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність точок в ньому містить підпослідовність, що збігається.
Для скінченовимірних евклідових просторів підпростір є компактом тоді і тільки тоді, коли він обмежений і замкнений. Про простори, що мають таку властивість, говорять, що вони задовольняють властивості Гейне — Бореля. Див. також Теорема Больцано — Вейєрштрасса.
Лема Лебега: Для будь-якого компактного метричного простору і відкритого покриття $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A$ існує додатне число $\,\!r$ таке, що будь-яка підмножина, діаметр якої менший за $\,\!r$ , міститься в одній з множин $\,\!V_{\alpha }$ . Таке число називають числом Лебега.
У компактних просторах кожен ультрафільтр збігається принаймні до однієї точки.
Для метричних просторів наступні твердження є еквівалентними: компактність; повнота та цілком обмеженість; секвенційна компактність; зліченна компактність.

Приклади компактних множин

Інваріантними компактними множинами є положення рівноваги, періодичні траєкторії, сепаратриси, граничні цикли, інваріантні тори й інші множини й їх скінченні об'єднання. Такі множини називають також локалізуючими[1].
в будь-якому топологічному просторі множина, що складається з однієї точки, завжди компактна.
замкнені й обмежені множини в $\mathbb {R} ^{n}$
скінченні підмножини в просторах, що задовольняють аксіомі відокремлюваності $\mathbf {T} _{1}$
теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір $C(X)$ неперервних функцій на метричному компактному просторі $X$ з нормою $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ . Тоді замикання множини функцій $F$ в $C(X)$ компактне тоді і тільки тоді, коли $F$ рівномірно обмежена і рівностепенево (одностайно) неперервна.
простір Стоуна булевої алгебри
компактифікація топологічного простору
Компактні групи Лі

Історія

Бікомпактний простір — термін, введений П. С. Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченному відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіше за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають зліченно-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.

Див. також

Література

О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.

А.П.Крищенко - Локализация инвариантных компактов автономных систем.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] А.П.Крищенко - Локализация инвариантных компактов автономных систем.