Локально компактний простір

Приклади локально компактних просторів:

• Замкнутий інтервал ${\displaystyle [0,1]}$, множина Кантора і загалом довільний компактний простір
• Простір дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і загалом евклідові простори ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,
• Довільний дискретний простір.

Простори, що не є локально компактними:

• Простір раціональних чисел ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ з індукованою топологією ${\displaystyle \mathbb {R} }$,
• Простір Бера ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$
• Простір ірраціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, як підпростір простору ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Простір ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0\}}$ як топологічний підпростір площини.

• У локально компактному гаусдорфовому просторі ${\displaystyle X}$ для будь-якої компактної підмножини ${\displaystyle E}$ її компактні околи утворюють базу околів множини ${\displaystyle E}$. Зокрема для кожної точки її компактні околи (які існують за означенням локальної компактності) утворюють базу околів точки.

Якщо простір ${\displaystyle X}$ є компактним і ${\displaystyle U}$ є деяким відкритим околом множини ${\displaystyle E}$, то доповнення ${\displaystyle T=X\setminus U}$ є компактною множиною, як замкнута підмножина компактного простору. Оскільки ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle T}$ є компактними підмножинами гаусдорфового проcтору, що не перетинаються, то існують також відкриті околи ${\displaystyle V\supset E}$ і ${\displaystyle W\supset T}$ із порожнім перетином. Оскільки ${\displaystyle V}$ є підмножиною замкнутої множини ${\displaystyle X\setminus W}$ то і її замикання ${\displaystyle {\bar {V}}\subset X\setminus W.}$ Але також ${\displaystyle X\setminus W\subset U}$ тож і ${\displaystyle {\bar {V}}\subset U}$ і також ${\displaystyle {\bar {V}}}$ є компактною, як замкнута підмножина компактного простору. Тобто кожен відкритий окіл ${\displaystyle E}$ містить компактний окіл цієї множини, що й доводить те, що компактні околи утворюють базис околів множини ${\displaystyle E}$.

У загальному випадку для локально компактних просторів для кожної точки ${\displaystyle x\in E}$ існує компактний окіл ${\displaystyle N_{x}}$, що містить відкритий окіл ${\displaystyle U_{x}}$ цієї точки. Відкриті околи ${\displaystyle U_{x}}$ утворюють покриття компактної множини ${\displaystyle E}$ і тому існує скінченне підпокриття ${\displaystyle U_{x_{1}},\ldots ,U_{x_{n}}.}$ Тоді для відповідних компактних околів об'єднання ${\displaystyle N=N_{x_{1}}\cup \ldots \cup N_{x_{n}}}$ є компактним околом ${\displaystyle E}$. Тоді для будь-якого відкритого околу ${\displaystyle V}$ множини ${\displaystyle E}$ множина ${\displaystyle V\cap N}$ є відкритим околом ${\displaystyle E}$ у компактному просторі ${\displaystyle N.}$ Тому із попереднього випливає існування компактної (у ${\displaystyle N,}$ а тому й у ${\displaystyle X}$) множини ${\displaystyle K}$ для якої ${\displaystyle E\subset K\subset V\cap N\subset V,}$ тобто довільний відкритий окіл компактної множини знову ж містить компактний окіл.

• Локально компактний гаусдорфів простір є цілком регулярним. Більше того для кожної компактної підмножини ${\displaystyle K}$ локально компактного простору ${\displaystyle X}$ і її відкритого околу ${\displaystyle U}$ існує неперервна функція ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ така, що ${\displaystyle 0\leqslant f(x)\leqslant 1,\ \forall x\in X}$ і також ${\displaystyle f(x)=1,\ \forall y\in K,}$ а носій функції є компактною підмножиною ${\displaystyle U}$, зокрема ${\displaystyle f(x)=0,\ \forall y\not \in U.}$ Цілковита регулярність є частковим випадком цього твердження у випадку якщо ${\displaystyle K}$ є одноточковою підмножиною.

• Замкнутий підпростір ${\displaystyle E}$ локально компактного простору ${\displaystyle X}$ є теж локально компактним.

За означенням для кожної точки ${\displaystyle x\in E}$ існує компактний окіл ${\displaystyle K}$ у просторі ${\displaystyle X}$. Але тоді ${\displaystyle E\cap K}$ є замкнутою підмножиною компактного простору ${\displaystyle K}$ і тому теж є компактною підмножиною простору ${\displaystyle K}$, а тому простору ${\displaystyle X}$ і простору ${\displaystyle E}$. Тобто кожна точка ${\displaystyle x\in E}$ має компактний окіл у ${\displaystyle E}$ і цей підпростір теж є локально компактним.

• Для довільного гаусдорфового простору ${\displaystyle X}$ локально компактний підпростір є локально замкнутим (тобто замкнутою підмножиною деякої відкритої підмножини X; еквівалентно якщо він є рівний перетину деякої відкритої і замкнутої множин або різницею замкнутих підмножин). Навпаки для локально компактного гаусдорфового простору довільний локально замкнутий підпростір є локально компактним.

Якщо ${\displaystyle E}$ є локально компактним підпростором гаусдорфового простору ${\displaystyle X}$ то для кожної точки ${\displaystyle x\in E}$ існує компактна підмножина ${\displaystyle K_{x}\subset E}$ і відкрита підмножина ${\displaystyle U_{x}\subset X}$ для яких ${\displaystyle x\in U_{x}\cap E\subset K_{x}}$ (це і означає в даному випадку, що ${\displaystyle K_{x}}$ є компактним околом у просторі ${\displaystyle E}$). Об'єднання множин ${\displaystyle U=\cup _{x\in E}U_{x}}$ є відкритим околом ${\displaystyle E}$ і достатньо довести, що ${\displaystyle E}$ є замкнутою підмножиною ${\displaystyle U.}$ Нехай ${\displaystyle y\in U\setminus E.}$ Тоді ${\displaystyle y\in U_{x}}$ для деякого ${\displaystyle x\in E}$ і y і ${\displaystyle K_{x}}$ є двома компактними підмножинами ${\displaystyle U}$ із порожнім перетином. Оскільки простір є гаусдорфовим звідси випливає існування відкритих околів ${\displaystyle y\subset U_{y}}$ і ${\displaystyle K_{x}\subset U_{K_{x}}}$ із порожнім перетином. Очевидно можна вибрати також ${\displaystyle U_{y}\subset U_{x}}$ і у цьому випадку ${\displaystyle U_{y}\subset E=\emptyset .}$ Отже для кожної точки ${\displaystyle y\in U\setminus E}$ існує відкритий окіл (у ${\displaystyle U}$) цієї точки, що не перетинається з ${\displaystyle E}$. Тобто ${\displaystyle E}$ є замкнутою підмножиною відкритої множини ${\displaystyle U.}$

Навпаки, якщо ${\displaystyle X}$ є локально компактним гаусдорфовим простором, ${\displaystyle E}$ є замкнутою підмножиною деякої відкритої множини ${\displaystyle U\subset X}$ і ${\displaystyle x\in E}$ то із попереднього існує компактний окіл ${\displaystyle x\in K_{x}\subset U}$. Множина ${\displaystyle K_{x}}$ є замкнутою у ${\displaystyle U}$ як компактна підмножина гаусдорфового простору ${\displaystyle U}$. Відповідно ${\displaystyle K_{x}\cap E}$ є замкнутою підмножиною у ${\displaystyle K_{x}}$ і тому компактною. Відповідно ${\displaystyle K_{x}\cap E}$ є компактним околом x у E.

• З попереднього випливає, що щільна підмножина локально компактного гаусдорфового простору є локально компактною тоді і тільки тоді, коли вона є відкритою.

• Одноточкова компактифікація топологічного простору ${\displaystyle X}$ є гаусдорфовою тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle X}$ є локально компактним гаусдорфовим простором.

• Добуток топологічних просторів є локально компактним тоді і тільки тоді, коли всі ці простори є локально компактними і всі вони, можливо за винятком скінченної кількості є компактні.

• Образ локально компактного простору при сюр'єктивному неперервному відкритому відображенні є локально компактним.

• Факторпростір локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим. Навпаки, будь-який компактно породжений гаусдорфів простір є факторпростором деякого локально компактного гаусдорфового простору.

• Компактний простір

• Kelley, John (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR507446, ISBN 978-0-486-68735-3
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).