Відособлена правдоподібність

У статистиці фу́нкція відосо́бленої правдоподі́бності (англ. marginal likelihood function) або інтегро́вана правдоподі́бність (англ. integrated likelihood) — це функція правдоподібності, в якій деякі змінні параметри було знеособлено. В контексті баєсової статистики вона також може згадуватися як сві́дчення (англ. evidence), або сві́дчення моде́лі (англ. model evidence).

При заданій множині незалежних однаково розподілених точок даних ${\displaystyle \mathbb {X} =(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$ де ${\displaystyle x_{i}\sim p(x_{i}|\theta )}$ відповідно до певного розподілу ймовірностей, параметризованого за θ, де θ саме по собі є випадковою змінною, описаною розподілом, тобто ${\displaystyle \theta \sim p(\theta |\alpha ),}$ відособлена правдоподібність у загальному випадку ставить питання, якою є ймовірність ${\displaystyle p(\mathbb {X} |\alpha ),}$ де θ було знеособлено (проінтегровано):

${\displaystyle p(\mathbb {X} |\alpha )=\int _{\theta }p(\mathbb {X} |\theta )\,p(\theta |\alpha )\ \operatorname {d} \!\theta }$

Наведене вище визначення сформульовано в контексті баєсової статистики. В класичній (частотницькій) статистиці поняття відособленої правдоподібності натомість з'являється в контексті спільного параметра θ=(ψ,λ), де ψ є справжнім параметром, що становить інтерес, а λ є нецікавим завадним параметром. Якщо існує розподіл імовірності для λ, часто бажано розглядати функцію правдоподібності лише в термінах ψ, знеособлюючи λ:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi$ ;\mathbb {X} )=p(\mathbb {X} |\psi )=\int _{\lambda }p(\mathbb {X} |\psi ,\lambda )\,p(\lambda |\psi )\ \operatorname {d} \!\lambda }

На жаль, відособлені правдоподібності, як правило, важко обчислювати. Точні розв'язки відомі для невеликого класу розподілів, зокрема коли знеособлюваний параметр є спряженим апріорним розподілу даних. В інших випадках потрібен якийсь метод чисельного інтегрування, або загальний метод, такий як гаусове інтегрування або метод Монте-Карло, або якийсь спеціалізований метод для статистичних задач, такий як наближення Лапласа, вибірка за Ґіббсом або алгоритм очікування-максимізації.

Також можливо застосовувати наведені вище міркування до єдиної випадкової змінної (точки даних) x, а не до набору спостережень. У баєсовому контексті це еквівалентно апріорному передбачуваному розподілові точки даних.