Вільна частинка

У класичній фізиці вільна частинка зберігає свою швидкість у інерціальній системі відліку. Це твердження є першим законом Ньютона.

Кінетична енергія вільної частинки задається формулами

• ${\displaystyle T={\frac {mv^{2}}{2}}}$, де m — маса частинки, у нерелятивітському випадку
• ${\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}$, де с — швидкість світла, у релятивістькому випадку.

Квантові частинки описуються рівнянням Шредінгера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi }$

Розв'язки цього рівняння даються суперпозицією хвильових функцій, які мають вигляд

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }}$,

де

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$,

${\displaystyle A_{\mathbf {k} }}$ — будь-яке комплексне число.

Хвильовий вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ є для вільної квантовомеханічної частинки квантовим числом.

Вільна квантова частинка може перебувати в стані з строго визначении хвильовим вектором. Тоді її імпульс теж строго визначений і дорівнює ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$. В такому випадку енергія частинки теж визначена й дорівнює E. Проте, квантова частинка може перебувати також у змішаному стані, в якому ні імпульс, ні енергія не визначені.

Релятивістські квантові частинки описуються різними рівняннями руху, в залежності від типу частинок. Для електронів і водночас їхніх античастинок позитронів справедливе рівняння Дірака. У стані з визначеним значенням імпульсу p енергія частинок дорівнює

${\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}}$,

де знак + відповідає електрону, а знак - відповідає позитрону. Для релятивістського електрона з'являється також додаткове квантове число — спін.

Інші частинки описуються своїми специфічними рівняннями, наприклад безспінова частинка описується рівнянням Клейна — Ґордона, фотони — рівняннями Максвелла тощо.