Ідеальний газ

Вчення про Ідеа́льний газ (ідеальні гази) сходить до відкритих в результаті не цілком точних експериментальних досліджень в XVII ─ XIX століттях газових законів Бойля ─ Маріотта, Гей-Люссака і Шарля, а також сформульованому Бенуа Клапейроном на їх основі об'єднаному рівнянню газового стану. В ті часи вважалося, що гази, на відміну від пари, не скраплюються і зберігають свій газоподібний стан у будь-якому температурному діапазоні. Розвиток кріогенної техніки спростував ці уявлення. Проте, газові закони збереглися в термодинаміці і в її технічних застосуваннях як принципово важливі закони ідеальних газів ─ граничних (практично недосяжних) станів реальних газів.

Під ідеальними газами в класичній термодинаміці маються на увазі гіпотетичні (реально не існуючі) гази, що строго підкоряються законам Бойля ─ Маріотта, Гей-Люссака і, відповідно, ─ рівнянню газового стану Клапейрона. [1] (Рівняння Клапейрона також було теоретично виведене при деяких припущеннях на основі молекулярно — кінетичної теорії газів).

У розширеній моделі ідеального газу частинки, з якого він складається, мають форму пружних сфер або еліпсоїдів, що дозволяє враховувати енергію не тільки поступального, а й обертально-коливального руху, а також не тільки центральні, а й нецентральні зіткнення частинок.[2].

Клапейрон вперше сформулював рівняння ідеального газу

Історія виникнення поняття про ідеальний газ безпосередньо пов'язана з успіхами експериментальної фізики, початок яким було покладено в XVII столітті. У 1643 р. Еванджеліста Торрічеллі вперше довів, що повітря має вагу (масу), і спільно з В. Вівіані провів дослід з вимірювання атмосферного тиску за допомогою запаяної з одного кінця скляної трубки, заповненої ртуттю. Так з'явився на світ перший ртутний барометр. У 1650 р. німецький фізик Отто фон Ґеріке винайшов вакуумне відкачування і провів в 1654 р. знаменитий експеримент із магдебурзькими півкулями, яким наочно підтвердив існування атмосферного тиску. Інший експеримент здійснив англійський фізик Роберт Бойль, на підставі якого в 1662 р. був сформульований газовий закон, названий згодом законом Бойля ─ Маріотта[3], у зв'язку з тим, що французький фізик Едм Маріотт в 1679 р. провів аналогічне незалежне дослідження.

У 1802 році французький фізик Жозеф Луї Гей-Люссак опублікував в пресі закон об'ємів (що називається в російськомовній літературі законом Гей-Люссака)[4], проте сам Гей-Люссак вважав, що відкриття було зроблене Жаком Шарлем в неопублікованій роботі, що відноситься до 1787 року. Незалежно від них цей закон був відкритий в 1801 році англійським фізиком Джоном Дальтоном. Крім того, якісно, він був описаний французьким вченим Гiйомом Амонтоном наприкінці XVII століття. Гей-Люссак також встановив, що коефіцієнт об'ємного розширення однаковий для усіх газів, незважаючи на загальноприйняту думку, що різні гази розширюються при нагріванні по-різному. У 1834 році Бенуа Клапейрон об'єднав обидва ці закони в одне рівняння газового стану — рівняння Клапейрона, різновид якого часто називають у російськомовних джерелах рівнянням Клапейрона — Менделєєва.[5]. Експериментальні дослідження фізичних властивостей реальних газів в ті роки були недостатньо точними і проводилися в умовах, що не дуже відрізнялися від нормальних (температура 0 ℃, тиск 760 мм рт. стовпчика). Передбачалося також, що газ, на відміну від пари, є субстанцією, незмінною у будь-яких фізичних умовах.

Першого удару за цими уявленнями завдало зріджування хлору в 1823 р. Надалі з'ясувалося, що реальні гази насправді є перегріті пари, досить віддалені від областей конденсації і критичного стану. Будь-який реальний газ може бути перетворений на рідину шляхом конденсації, або шляхом безперервних змін однофазного стану. Таким чином реальні гази являють собою один з агрегатних станів відповідних простих тіл, а точним рівнянням стану газу може бути рівняння стану простого тіла. Не дивлячись на це, газові закони збереглися в термодинаміці та в її технічних застосуваннях як закони ідеальних газів ─ граничних (практично недосяжних) станів реальних газів[6]. Уперше поняття «Ідеальний газ» було введене Р. Клаузіусом.[7].

Розрізняють три типи ідеального газу^{[джерело?]}:

• Класичний ідеальний газ або газ Максвелла — Больцмана.
• Ідеальний квантовий газ Бозе (складається з бозонів). (Див. Статистика Бозе — Ейнштейна).
• Ідеальний квантовий газ Фермі (складається з ферміонів). (Див. Статистика Фермі — Дірака).

Термодинамічні властивості ідеального газу можна описати такими двома рівняннями: Стан класичного ідеального газу описується рівнянням стану ідеального газу:

${\displaystyle PV=nRT=Nk_{B}T\,}$

Внутрішня енергія ідеального газу описується наступним рівнянням:

${\displaystyle U={\hat {c}}_{V}nRT={\hat {c}}_{V}Nk_{B}T}$

де ${\displaystyle {\hat {c}}_{V}}$ є константою (рівною, наприклад, 3/2 для одноатомного газу) і

• U — внутрішня енергія (вим. у джоулях)
• P — тиск (паскаль)
• V — об'єм (метр кубічний)
• n — кількість речовини (моль)
• R — газова стала (джоуль на моль на градус Кельвіна)
• T — абсолютна температура (градуси Кельвіна)
• N — кількість молекул
• k_B — стала Больцмана (джоуль на градус Кельвіна на молекулу)

Інші термодинамічні величини для одноатомного ідеального газу:

Вільна енергія:

${\displaystyle F=-Nk_{B}T\left({\text{ln}}\,\left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\right]+1\right)}$,

де m — маса атома газу, ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка.

Хімічний потенціал

${\displaystyle \mu =k_{B}T{\text{ln}}\,\left[{\frac {N}{V}}\left({\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{B}T}}\right)^{3/2}\right]}$

Фермі-газ утворений з ферміонів — частинок, які не можуть перебувати в станах з однаковими квантовими числами. Ферміони підкоряються статистиці Фермі — Дірака. Прикладом ідеального Фермі-газу є електрони в металах.

Рівняння стану Фермі-газу записується в параметричному вигляді де параметром є величина хімічного потенціалу μ.

${\displaystyle P={\frac {g{\sqrt {2}}m^{3/2}(k_{B}T)^{5/2}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}+1}}\,}$,

${\displaystyle N={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt {z}}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}+1}}}$,

Інші позначення в цій формулі: g — фактор виродження (2 для електронів, у яких спін 1/2), ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка. Міняючи параметр μ і обчислюючи інтеграли, можна побудувати залежність тиску від об'єму для будь-якої температури й будь-якого числа частинок.

При високих температурах Фермі-газ поводить себе аналогічно класичному газу. Перша поправка до рівняння стану має вигляд:

${\displaystyle PV=Nk_{B}T\left(1+{\frac {\pi ^{3/2}}{2g}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{B}T)^{3/2}}}\right)}$.

Таким чином, тиск при тому ж об'ємі для фермі-газу збільшується завдяки зумовленому принципом Паулі відштовхуванню між частками.

При низьких температурах та високих густинах фермі-газ стає виродженим, і втрачає схожість із класичним ідеальним газом. Умова виродження задається нерівністю:

${\displaystyle T\ll T_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{B}m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{2/3}}$.

Температура ${\displaystyle T_{F}}$ називається температурою виродження.

При виконанні цієї умови рівняння стану ідеального електронного газу має вигляд:

${\displaystyle P={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}}{5}}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3}}$.

Це рівняння справедливе також і для абсолютного нуля температури. Тиск виродженого Фермі-газу не залежить від температури.

Ідеальний Бозе-газ складається з бозонів. Відмінність від класичного газу в тому, що бозони неможливо жодним чином відрізнити один він одного і пронумерувати. Поведінка бозонів описується статистикою Бозе-Ейнштейна. Прикладом системи, яка складається з бозонів є світло.

Рівняння стану ідеального Бозе-газу записується у параметричному вигляді, який відрізняється від рівняння стану Фермі-газу лише знаком перед одиницею в знаменнику:

${\displaystyle P={\frac {g{\sqrt {2}}m^{3/2}(k_{B}T)^{5/2}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}-1}}\,}$,

${\displaystyle N={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt {z}}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}-1}}}$,

де хімічний потенціал ${\displaystyle \mu \leq 0}$.

При високих температурах Бозе-газ поводить себе подібно до класичного газу. Перша поправка до рівняння стану

${\displaystyle PV=Nk_{B}T\left(1-{\frac {\pi ^{3/2}}{2g}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{B}T)^{3/2}}}\right)}$.

Тиск при тому ж об'ємі менший за тиск класичного газу, немов між частками Бозе-газу діє ефективне притягання.

При низьких температурах Бозе-газ вироджується, переходячи в конденсат Бозе — Ейнштейна.

Для Бозе-конденсату рівняння стану записується у вигляді:

${\displaystyle P=0,0851g{\frac {m^{3/2}(k_{B}T)^{5/2}}{\hbar ^{3}}}}$.

Тиск у ньому не залежить від об'єму.

• Ідеальна рідина
• Закони ідеальних газів

• Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа., 415 с.
• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука.
• Глосарій термінів з хімії / уклад. Й. Опейда, О. Швайка ; Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет. — Дон. : Вебер, 2008. — 738 с. — ISBN 978-966-335-206-0.