Гільбертове оснащення

Гільбертовим оснащенням простору ${\displaystyle H_{0}}$ просторами ${\displaystyle H_{-}}$ і ${\displaystyle H_{+}}$ називається ланцюжок включень

${\displaystyle H_{-}\supseteq H_{0}\supseteq H_{+}}$

побудований наступним чином.

Нехай ${\displaystyle H_{0}}$ — гільбертів простір зі скалярним добутком ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{H_{0}}}$ і нормою ${\displaystyle \|\cdot \|_{H_{0}}}$ і в ${\displaystyle H_{0}}$ щільна лінійна множина ${\displaystyle H_{+}}$, яка є гільбертовим простором відносно скалярного добутку ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{H_{+}}}$ і норми ${\displaystyle \|\cdot \|_{H_{+}}}$, причому

${\displaystyle \|u\|_{H_{0}}\leq \|u\|_{H_{+}}\quad (u\in H_{+}).}$

Кожний елемент ${\displaystyle f\in H_{0}}$ породжує антилінійний неперервний функціонал ${\displaystyle l_{f}}$ на ${\displaystyle H_{+}}$ за формулою

${\displaystyle l_{f}(u)=(f,u)_{H_{0}}\quad (u\in H_{+})}$

Гільбертів простір ${\displaystyle H_{-}}$ одержимо поповненням простору ${\displaystyle H_{0}}$ за новою нормою ${\displaystyle \|f\|_{H_{-}}:=\|l_{f}\|}$