Двоїстість Пуанкаре

Початковий варіант теореми двоїстості був сформульований Пуанкаре без доведення в 1893 році. Когомології були винайдені лише через два десятиліття після його смерті, тому ідею двоїстості він сформулював у термінах чисел Бетті: k-те та (n − k)-те числа Бетті замкнутого (компактного без краю) орієнтовного n-вимірного многовиду рівні:

${\displaystyle b_{k}(M)=b_{n-k}(M).}$

Пізніше Пуанкаре дав доведення цієї теореми у термінах двоїстих триангуляцій[1][2].

Сучасне формулювання двоїстості Пуанкаре включає поняття гомологій і когомологій: якщо M — замкнутий орієнтовний n-вимірний многовид, k — ціле число, то існує канонічний ізоморфізм k-ї групи когомологій H^k(M) в (n − k)-ю группу гомологий H_n − k(M):

${\displaystyle D:H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)}$.

Цей ізіморфізм визначається фундаментальним класом многовиду ${\displaystyle [M]}$:

${\displaystyle D(\alpha )=[M]\frown \alpha }$,

де ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ — коцикл, ${\displaystyle \frown }$ обозначає ${\displaystyle \frown }$-множення гомологічних та когомологічних класів. Тут наведено гомології і когомології з коефіцієнтами в кільці цілих чисел, але ізоморфізм має місце і для довільного кільця коефіцієнтів.

Для некомпактних орієнтовних многовидів когомології в цій формулі необхідно замінити на когомології з компактним носієм.

Для ${\displaystyle k<0}$ групи гомологій та когомологій, за означенням нульові, відповідно, згідно з двоїстістю Пуанкаре, групи гомологій і когомологій при ${\displaystyle k>n}$ на n-вимірному многовиді є нульовими.

Нехай M замкнутий орієнтовний многовид, позначемо через ${\displaystyle \tau H_{k}(M)}$ кручення групи ${\displaystyle H_{k}(M)}$, і ${\displaystyle fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)}$ її вільну частину; всі групи гомологій беруться з цілими коефіцієнтами. Існують білінійні відображення:

${\displaystyle fH_{k}(M)\otimes fH_{n-k}(M)\to \mathbb {Z} }$

і

${\displaystyle \tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{n-k-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

(Здесь ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ — адитивна факторгрупа групи раціональних чисел за цілими.)

Перша форма називається індексом перетину, друга — коефіцієнтом зачеплення. Індекс перетину визначає невироджену двоїстість між вільним частинами груп ${\displaystyle H_{k}(M)}$ і ${\displaystyle H_{n-k}(M)}$, коефіцієнт зачеплення — між крученнями груп ${\displaystyle H_{k}(M)}$ і ${\displaystyle H_{n-k-1}(M)}$.

Твердження про те, що ці білінійні парування визначають двоїстість, означає, що відображення

${\displaystyle fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-k}(M),\mathbb {Z} )}$

і

${\displaystyle \tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-k-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

є ізоморфізмами груп.

Цей результат є наслідком двоїстості Пуанкаре ${\displaystyle H_{k}(M)\simeq H^{n-k}(M)}$ і теореми про універсальні коефіцієнти, що дають рівності ${\displaystyle fH^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-k}(M);\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle \tau H^{n-k}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-k-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-k-1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$. Таким чином, групи ${\displaystyle fH_{k}(M)\simeq fH_{n-k}(M)}$ є ізоморфними, хоча і не існує природного ізоморфізму, і, аналогічно, ${\displaystyle \tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{n-k-1}(M)}$.

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989