Теорема про універсальні коефіцієнти

Теорема про універсальні коефіцієнти є результатом у гомологічній алгебрі, що пов'язує гомологічні і когомологічні групи із довільними коефіцієнтами для ланцюгового комплексу із гомологічними і когомологічними групами із цілочисловими коефіцієнтами [1] · [2] · [3] · [4]. Теорема часто застосовується у алгебричній топології. Типовим застосуванням є обчислення гомологічних та когомологічних груп із коефіцієнтами у деякій групі $G$ (серед найважливіших для застосувань є групи $\mathbb {Q}$ і $\mathbb {Z} _{p}$ ) через обчислення для коефіцієнтів $\mathbb {Z}$ , які часто є простішими для обчислення. Теорему вперше довели у 1942 році Самуель Ейленберг і Сандерс Маклейн[5] · [6]. У сучасній версії її найчастіше стверджують із використанням функторів Tor і Ext, за допомогою коротких точних послідовностей [7].

Перед загальним твердженням теореми можна розглянути її на простому прикладі. Двоїстість між ланцюгами і коланцюгами породжує пару $\langle -,-\rangle :H^{i}(C^{\bullet })\otimes H_{i}(C_{\bullet })\to \mathbb {Z}$ для кожного ланцюгового комплекса $C$ . Звідси можна отримати гомоморфізм між абелевими групами $H^{i}(C^{\bullet })\to \operatorname {Hom} \left(H_{i}(C),\mathbb {Z} \right),$ для якого образом кожного $i$ -коцикла $f$ є гомоморфізм $\phi _{f}:x\mapsto f(x)$ . Теорема про універсальні коефіцієнти узагальнює цю конструкцію на випадок якщо коефіцієнти гомологічних і когомологічних груп є іншими, ніж $\mathbb {Z} .$

Твердження теореми

Нехай C є ланцюговим комплексом із цілими коефіцієнтами[8], а $H_{i}(C)$ і $H^{i}(C)$ позначають відповідні гомологічні і когомологічні групи. Для деякої абелевої групи G нехай $H_{i}\left(C;G\right)$ позначає гомологічні групи із коефіцієнтами G (тобто гомологічні групи для ланцюгового комплекса $C\otimes G$ ), а $H^{i}\left(C;G\right)$ позначає відповідні когомологічні групи.

Для когомологічних груп

При вказаних вище позначеннях послідовність нижче є точною:[9]

0\to \operatorname {Ext} \left(H_{i-1}(C),G\right)\to H^{i}\left(C;G\right)\to \operatorname {Hom} \left(H_{i}(C),G\right)\to 0

Послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Теорему і її доведення можна продовжити для одержання теореми Кюннета [10] · [11].

Для гомологічних груп

У випадку гомології замість функтора Ext використовується функтор Tor. Послідовність нижче є точною:[12]

0\to H_{i}(C)\otimes G\to H_{i}\left(C;G\right)\to \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)\to 0

Як і у випадку когомології ця послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Ненатуральність розщеплення

Ненатуральність розщеплення має важливі наслідки і є одною із перешкод для практичного застосування теореми. Для випадку гомологічних груп розщеплення послідовності осначає, що $H_{i}\left(C;G\right)\simeq H_{i}(C)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)$ і при цьому у точній послідовності у твердженні теореми перше відображення є вкладення як перший доданок прямої суми, а друге відображення є проєкцією на другий доданок.

Ненатуральність такого розщеплення означає, що існують ланцюгові комплекси C і D і ланцюгове відображення f між ними, таке що при записах $H_{i}\left(C;G\right)\simeq H_{i}(C)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)$ і $H_{i}\left(D;G\right)\simeq H_{i}(D)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(D),G\right)$ індуковане відображення $f_{*}:H_{i}\left(C;G\right)\to H_{i}\left(D;G\right)$ не має вигляд $f_{*}(H_{i}\left(C;G\right))=f_{*}(H_{i}(C))\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(f_{*}(H_{i-1}(C)),G\right).$

Для прикладу коли таке не відбувається розглянемо сингулярні гомології на дійсній проєктивній площині $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )$ і сфері. $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )$ можна розглядати як фактор-простір одиничної сфери щодо антиподального відображення ${\displaystyle \phi$ . Зокрема існує канонічне вкладення ${\displaystyle \psi$ проективної площини у сферу.

Сингулярні гомологія із коефіцієнтами $\mathbb {Z}$ : для дійсної проективної площини $H_{1}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними. Для сфери $H_{2}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z}$ , усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними.
Відображення $\psi$ породжує ланцюговий гомоморфізм між сингулярними ланцюговими комплексами і, як наслідок, гомоморфізм між гомологічними групами $\psi _{*}:H_{*}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} ))\to H_{*}(\mathbb {S} ^{2}),$ , який є нульовим для всіх груп.
Згідно теореми про універсальні коефіцієнти існує розклад $H_{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq H_{i}(X)\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \operatorname {Tor} (H_{i-1}(X),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
Зокрема $H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq 0\oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ і $H_{2}(\mathbb {S} ^{2};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus 0$

Якби ці розклади були натуральними то гомоморфізм $\psi _{*,2}$ для гомологічних груп із коефіцієнтами $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ мав би бути нульовим оскільки $\psi _{*}(H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )))=\psi _{*}(0)=0$ і $\psi _{*}(H_{1}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )))=\psi _{*}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=0$ (оскільки $H_{*}(\mathbb {S} ^{2})=0$ ) то ж і $\operatorname {Tor} (H_{i-1}(X),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=0$ .

Натомість пряме обчислення показує, що $\psi _{*,2}:H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to H_{2}(\mathbb {S} ^{2};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ є ізоморфізмом, а не нульовим відображенням.

Доведення теореми

Доведення подано для випадку когомолії[13]. Доведення у випадку гомології є подібним.

Нехай $(C_{\bullet },\delta )$ є коланцюговим комплексом вільних $Z$ -модулів і $Z_{\bullet }$ позначає його коцикли, а $B_{\bullet }$ його кограниці. Оскільки $Z_{\bullet }$ і $B_{\bullet }$ для кожного індекса є підгрупами вільної абелевої групи, то вони теж є вільними модулями. Тому точна послідовність нижче розщеплюється:

0\to Z_{p}\to C_{p}\to B_{p-1}\to 0

Тому можна підібрати відповідну проєкцію $f:C_{\bullet }\to Z_{\bullet }$ і застосувати функтор $\operatorname {Hom} (-,G)$ до двох точних послідовностей

{\begin{aligned}&0\to Z_{p}{\xrightarrow {i}}C_{p}{\xrightarrow {\partial }}B_{p-1}\to 0\\&0\to B_{p}{\xrightarrow {j}}Z_{p}{\xrightarrow {q}}H_{p}(C)\to 0\end{aligned}}

Згідно властивостей функтора Ext можна записати $\operatorname {Ext} (H_{p},G)\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))$ і отримати комутативну діаграму

{\begin{matrix}&&&&0&&0\\&&&&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &\operatorname {Hom} (H_{p},G)&{\xrightarrow {q^{*}}}&\operatorname {Hom} (Z_{p},G)&{\xrightarrow {j^{*}}}&\operatorname {Hom} (B_{p},G)\\&&&&f^{*}\downarrow \uparrow i^{*}&&\downarrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (C_{p-1},G)&{\xrightarrow {\delta }}&\operatorname {Hom} (C_{p},G)&{\xrightarrow {\delta }}&\operatorname {Hom} (C_{p+1},G)\\&&\downarrow i^{*}&&\uparrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G)&{\xrightarrow {j^{*}}}&\operatorname {Hom} (B_{p-1},G)&\to &\operatorname {Ext} (H_{p},G)&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&0&&0\end{matrix}}

За побудовою кожен стовпець і кожен рядок у цій діаграмі є точними послідовностями. Із цієї діаграми випливає, що гомоморфізм $H_{p}(C;G)\to \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)$ (породжений $i^{*}$ ) допускає переріз, тобто є сюр'єктивним. Також із використанням ін'єктивності $\partial ^{*}$ ) випливає, що $\ker \left(H_{p}(C;G)\to \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)\right)\simeq \partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))/\operatorname {Im} (\delta )\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(i^{*}(\operatorname {Hom} (C_{p-1},G)))$ . Ін'єктивність $i^{*}$ дозволяє ідентифікувати останню групу із $\operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))$ тобто $\operatorname {Ext} (H_{p},G).$

Застосування

Для всіх $\mathbb {Z}$ -модулів $M$ справедливим є твердження $\operatorname {Tor} (M,\mathbb {Q} )=0$ . Тому із теореми про універсальні коефіцієнти $H_{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} \simeq H_{i}(X;\mathbb {Q} )$ . Зокрема для дійсної проективної площини гомологія над $\mathbb {Q}$ є рівною гомології точки.
Якщо $H_{i-1}(X;G)$ є вільною абелевою групою, то $H_{i}(X;G)\simeq H_{i}(X)\otimes G$ .
Для всіх скінченнопороджених абелевих груп $H$ виконується властивість $\operatorname {Ext} \left(H,\mathbb {Z} \right)\simeq H_{\text{tors}}.$ Зокрема, якщо група $G$ є полем, то не існує кручення і як векторні простори $H_{i}\simeq H^{i}$ .
Якщо $X$ є CW-комплексом із скінченною кількістю клітин кожної розмірності то $H_{i}(X)$ є скінченнопородженими і можуть бути записаними як $H_{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i}$ де $T_{i}$ є підгрупою кручення і ранг $b_{i}$ називається $i$ -им числом Бетті. Із використанням теореми про універсальні коефіцієнти можна показати, що $H^{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i-1}$ .
Із попереднього разом із двоїстістю Пуанкаре, де її можна застосувати (якщо $X$ є орієнтовним многовидом розмірності $n$ без границі), одержується рівність $b_{i}=b_{n-i}$ .

Примітки

Yves Felix, Daniel Tanre, Topologie algebrique cours et exercices corriges ISBN 9782100533732, p. p. 141-149
Allen Hatcher, Algebraic topology ISBN 9780521795401, p. sections 3.1 et 3.A
Edwin Spanier, Algebraic topology ISBN 9780387944265, p. section 5.5
Anatoly Fomenko, Dmitry Fuchs, Homotopical Topology, coll. « Graduate Texts in Mathematics » ISBN 9783319234878 та 9783319234885, p. sections 15.4 et 15.5
Samuel Eilenberg; Saunders MacLane (1942). Group Extensions and Homology. Annals of Mathematics 43 (4): 757–831. doi:10.2307/1968966.
Saunders MacLane, Homology ISBN 9783642620294, p. p. 103
Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra ISBN 9780521559874
Теорему можна узагальнити якщо замість цілих чисел взяти довільне кільце з успадкуваннями справа, наприклад будь-яке кільце головних ідеалів чи кільце Дедекінда. Див (Weibel 1994, p. 90).
Див. наприклад (Hatcher 2002, theorem 3.2, p. 195).
Доведення у книзі (Weibel 1994, p. 87) є частиною доведення теореми Кюннета.
P. J. Hilton, S. Wylie, Homology theory : an introduction to algebraic topology ISBN 9780521094221, p. p. 227
Див. наприклад(Hatcher 2002, theorem 3A.3, corollary 3A.4, p. 264).
Альтернативне доведення подано у книзі (Hatcher 2002, p. 190-195).

Див. також

Література

Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
Hilton, Peter J.; Wylie, Shaun (1967). Homology Theory. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09422-4. MR 0115161.
Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619.
May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press.
Spanier, Edwin H. (1966). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
Weibel, Charles A (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Yves Felix, Daniel Tanre, Topologie algebrique cours et exercices corriges ISBN 9782100533732, p. p. 141-149

[2] Allen Hatcher, Algebraic topology ISBN 9780521795401, p. sections 3.1 et 3.A

[3] Edwin Spanier, Algebraic topology ISBN 9780387944265, p. section 5.5

[4] Anatoly Fomenko, Dmitry Fuchs, Homotopical Topology, coll. « Graduate Texts in Mathematics » ISBN 9783319234878 та 9783319234885, p. sections 15.4 et 15.5

[5] Samuel Eilenberg; Saunders MacLane (1942). Group Extensions and Homology. Annals of Mathematics 43 (4): 757–831. doi:10.2307/1968966.

[6] Saunders MacLane, Homology ISBN 9783642620294, p. p. 103

[7] Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra ISBN 9780521559874

[8] Теорему можна узагальнити якщо замість цілих чисел взяти довільне кільце з успадкуваннями справа, наприклад будь-яке кільце головних ідеалів чи кільце Дедекінда. Див (Weibel 1994, p. 90).

[9] Див. наприклад (Hatcher 2002, theorem 3.2, p. 195).

[10] Доведення у книзі (Weibel 1994, p. 87) є частиною доведення теореми Кюннета.

[11] P. J. Hilton, S. Wylie, Homology theory : an introduction to algebraic topology ISBN 9780521094221, p. p. 227

[12] Див. наприклад(Hatcher 2002, theorem 3A.3, corollary 3A.4, p. 264).

[13] Альтернативне доведення подано у книзі (Hatcher 2002, p. 190-195).