Коефіцієнт зачеплення

Коефіцієнт зачеплення — ціле або дробове число, що зіставляється двом циклам ${\displaystyle z^{k-1}}$ і ${\displaystyle z^{n-k}}$, які не перетинаються, в орієнтованому многовиді ${\displaystyle M}$ розмірності ${\displaystyle n}$, класи гомологій яких належать підгрупам кручення в цілочисельних гомологіях ${\displaystyle H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )}$ і ${\displaystyle H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ відповідно.

Найпростішим прикладом є коефіцієнт зачеплення двох замкнутих кривих ${\displaystyle L_{1},\ L_{2}}$, що не перетинаються, простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: він дорівнює степеню відображення ${\displaystyle \phi \colon L_{1}\times L_{2}\to S^{2}}$ визначається як

${\displaystyle \phi (x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2}}$.

Коефіцієнт зачеплення не змінюється під час неперервних деформацій кривих, якщо протягом цієї деформації криві не перетинаються, тобто є інваріантом цього зачеплення. Якщо натягнути на одну криву орієнтовану поверхню, то індекс перетину буде дорівнювти кількості точок перетину першої кривої з цією поверхнею взятих з відповідними знаками.

Аналогічно визначається коефіцієнт зачеплення в разі замкнених орієнтованих многовидів ${\displaystyle M^{k-1}}$ та ${\displaystyle M^{n-k}}$, розташованих у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

В загальному випадку коефіцієнт зачеплення визначається через індекс перетину наступним чином: Якщо ${\displaystyle C^{k}}$ є ${\displaystyle k}$-вимірний ланцюг для якого ${\displaystyle \partial C^{k}=az^{k-1}}$і ${\displaystyle b}$ є індекс перетину ${\displaystyle C^{k}}$ з ${\displaystyle z^{n-k}}$, то індекс зачеплення дорівнює ${\displaystyle b/a}$. Це число не залежить від вибору плівки ${\displaystyle C^{k}}$.