Білінійне відображення

Білінійне відображення — це відображення декартового добутку V × W в X

B : V × W → X,      (V,W,X — векторні простори над одним і тим самим полем F)

що володіє властивістю лінійності за кожним зі своїх аргументів.

• Тобто для кожного w з W відображення

v → B(v, w) є лінійним відображенням з V в X.

• І для кожного v з V відображення

w → B(v, w) є лінійним відображенням з W в X.

- це лінійне відображення від ${\displaystyle W}$ до ${\displaystyle X}$. Іншими словами, коли ми тримаємо перший запис білінійного відображення фіксованим, дозволяючи другому запису змінюватися, результат є лінійним оператором і аналогічно, коли ми тримаємо другий запис фіксованим. У випадку Таке відображення ${\displaystyle B}$ задовольняє наступним властивостям.

• ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {F}$ :\quad B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w)} .
• Відображення ${\displaystyle B}$ є добавкою в обох компонентах: якщо ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ і ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W}$, тоді

${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ and ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2})}$. Якщо V = W, і ми маємо B(v, w) = B(w, v) для всіх v, w in V, то ми говоримо , що B є симетричним . Якщо X - базове поле F , то відображення називають білінійною формою, яка добре вивчена (див., Наприклад, скалярний добуток, внутрішній добуток і квадратична форма).