Детермінант Слейтера

Найпростіший спосіб апроксимації багаточастинкової хвильової функції - взяти добуток коректно підібраних одночастинкових хвильових функцій. Для випадку двох частинок, матимемо

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2}).}$

Цей вираз використовується у методі Гартрі як анзац для багаточастинкової хвильової функції і відомий під назвою добутку Гартрі. Хоча він не є задовільним для ферміонів, наприклад, для електронів, оскільки така хвильова функція не є антисиметричною, тобто не виконується рівність

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=-\Psi (\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}).}$

З цієї причини добуток Гартрі не задовольняє принципу нерозрізнюваності частинок. Ця проблема може бути розв'язана, якщо взяти лінійну комбінацію обох добутків Гартрі.

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1})\}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{1})\\\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})\end{vmatrix}}}$

тут множник ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ - це нормувальний коефіцієнт. Така хвильова функція є антисиметричною. Більше того вона стає нульовою, якщо будь-які дві хвильові функції однакові. Наслідком цього є принцип виключення Паулі.

Детермінант Слейтера для системи із N ідентичних часток будується наступним чином. Береться набір N лінійно незалежних одночастинкових хвильових функцій ${\displaystyle \psi _{i}(\mathbf {r} )}$. Антисиметрична хвильова функція матиме вигляд

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{i},\ldots ,\mathbf {r} _{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{1})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{1})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{1})\\\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{2})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{2})\\&&&\vdots \\\psi _{1}(\mathbf {r} _{i})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{i})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{i})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{i})\\&&&\vdots \\\psi _{1}(\mathbf {r} _{N})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{N})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{N})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{N})\end{matrix}}\right|}$

Таким чином задається загальна антисиметрична форма хвильової функції. Зазвичай одночасткові хвильові функції ${\displaystyle \psi _{i}(\mathbf {r} )}$ або невідомі, або мають невідомі параметри, які визначаються при розв'язку рівняння Шредінгера, наприклад, варіаційним методом. Така процедура використовується, зокрема, у методі Гартрі — Фока самоузгоджених квантовомеханічних розрахунків.