Диверсифікація ризиків за допомогою перестрахування

Перестрахування — страхування одним страховиком (цедентом, перестрахувальником) на визначених договором умовах ризику виконання всіх або частини своїх обов'язків перед страхувальником у іншого страховика (перестраховика). Перестрахування здійснюється перестрахувальником з метою захисту себе від втрат, які він може понести.

Диверсифікація ризиків дозволяє знизити рівень концентрації ризиків. Диверсифікація видів діяльності передбачає використання альтернативних можливостей отримання доходу і прибутку від різноманітних фінансових операцій.

Одним з основних принципів роботи страхової компанії є диверсифікація ризиків, яка передбачає те, що страховик не повинен включати у страховий портфель ризики лише одного виду, або здійснювати перестрахування ризиків лише в одній страховій компанії.

Припустимо, ${\displaystyle W_{0}}$ — загальний рівень ризику, взятого на страхування, який визначається: ${\displaystyle W_{0}=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+...+x_{l}p_{k}}$, де ${\displaystyle l}$ — вид ризику; ${\displaystyle x_{l}}$ — кількість договорів перестрахування ${\displaystyle l}$-го виду; ${\displaystyle p_{k}}$, ${\displaystyle k={1 \over l}}$ — рівень ризику ${\displaystyle k}$-го виду.

Якщо поділити ліву та праву частини рівняння на ${\displaystyle W_{0}}$, отримаємо ${\displaystyle 1={x_{1}p_{1} \over W_{0}}+{x_{2}p_{2} \over W_{0}}+...+{x_{l}p_{k} \over W_{0}}}$.

Позначимо частку договорів перестрахування ${\displaystyle k}$-го виду ${\displaystyle {x_{l}p_{k} \over W_{0}}}$ через ${\displaystyle W_{k}}$, ${\displaystyle (k={1 \over l})}$. Необхідно знайти ${\displaystyle W_{k}}$, ${\displaystyle (k={1 \over l})}$, яке мінімізує ризик портфелю ${\displaystyle {\sigma }_{portf}^{2}}$ страхової компанії при умові, що ${\displaystyle \sum _{k=1}^{l}W_{k}=1}$ та існує середнє значення дохідності ${\displaystyle MR_{portf}}$

Для визначення стохастичних процентних ставок звернемось до моделі Васічека, в якій короткострокова процентна ставка визначається рівнянням ${\displaystyle dr(t)=a-br(t)dt+{\sigma }dW(t)}$, де ${\displaystyle [t,T]}$ — інтервал часу; ${\displaystyle r(t)=r}$ — короткострокова процентна ставка; ${\displaystyle a,a>0}$ — довгострокове середнє значення спот-ставки; ${\displaystyle b,b>0}$ — параметр дрейфа (характеризує швидкість повернення процесу до довгострокового середнього значення); ${\displaystyle {\sigma }}$ — параметр дисперсії; ${\displaystyle dW(t)}$ — вектор прирощення ${\displaystyle q}$-мірного стандартного вінерівського процесу.

Вінерівський процес — приклад марківського процесу, тобто процесу значення якого в даний момент ${\displaystyle t}$ повністю визначає його майбутню поведінку незалежно від минулого.

Нехай рівень ризику описується моделлю виду ${\displaystyle P(t,T)=exp\left\lbrace \alpha (t,T)-r(t)\beta (t,T)\right\rbrace ,t\in [t,T]}$, де функції ${\displaystyle \alpha (t,T),\beta (t,T)}$ — стохастичні процентні ставки за договорами перестрахування, що задаються моделлю Васічека.

${\displaystyle \alpha (t,T),\beta (t,T)}$ визначаються формулами:

${\displaystyle \alpha (t,T)=(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}})(\beta (t,T)-(T-t))-{\frac {\sigma ^{2}\beta ^{2}(t,T)}{4a}}}$

${\displaystyle \beta (t,T)={\frac {1}{b}}(1-e^{-b(T-t)})}$

Середнє значення процентної ставки визначається формулою:

${\displaystyle Mr(t)=exp(-bt)[r(0)+{\frac {a}{b}}(exp(bt)-1)]}$

Дисперсія визначається формулою:

${\displaystyle Dr(t)=exp(-2bt)c^{2}D(\int _{0}^{t}exp(bt)W(t))=exp(-2bt)c^{2}{\frac {1}{2b}}(r^{2bt}-1)}$

Дохідність договору перестрахування визначається формулою ${\displaystyle i(t)={\frac {g(t)N+P(t)-R_{0}}{P_{0}}}}$, де ${\displaystyle g(t)}$ — норма річного доходу від перестрахування ризиків; ${\displaystyle P_{0}}$ — початковий рівень ризику, переданого у перестрахування; ${\displaystyle N}$ — страхова сума за переданим у перестрахування договором.

Після перетворень отримаємо дохідність договору перестрахування:

${\displaystyle i(t)={\frac {g(t)N}{P_{0}}}+{\frac {1}{P_{0}}}exp(\alpha -\beta r(t))-1,\forall t\in [0,T]}$

Середня дохідність договору перестрахування буде дорівнювати:

${\displaystyle Mi={\frac {gN}{P_{0}}}+{\frac {e^{\alpha }}{P_{0}}}Me^{-{\beta }r(t)}-1={\frac {gN}{P_{0}}}+{\frac {e^{\alpha }}{P_{0}}}Me^{-{\beta }({\frac {r-Mr}{\sqrt {Dr}}}{\sqrt {Dr}}+Mr)}-1={\frac {gN}{P_{0}}}+{\frac {e^{\alpha -\beta Mr+{\frac {\beta ^{2}Dr}{2}}}}{P_{0}}}}$

А середня дохідність портфеля буде дорівнювати ${\displaystyle MR_{portf}=\sum _{j=1}^{l}W_{j}Mi_{j}}$, де ${\displaystyle i_{j}}$ — дохідність договору перестрахування ${\displaystyle j}$-го виду, а очікуваний ризик:

${\displaystyle \sigma _{portf}^{2}=\sum _{k=1}^{l}\sum _{m=1}^{l}W_{k}W_{m}cov(i_{k};i_{m})}$

Коваріація випадкових величин ${\displaystyle i_{k},i_{m}}$ розраховуються за формулою ${\displaystyle cov(i_{k};i_{m})=M(i_{k};i_{m})-Mi_{k}Mi_{m}}$

Задача вибору оптимальної структури портфеля, тобто вибору оптимального вектора ${\displaystyle (W_{1}^{*};W_{2}^{*};...;W_{l}^{*})}$ — зводиться до знаходження значень ${\displaystyle W_{j}(j={\frac {1}{l}})}$, що мінімізують ризик портфеля, якщо ${\displaystyle \sum _{k=1}^{l}W_{k}=1}$.

Розв'язання цієї задачі можна отримати методом множників Лагранжа. Перепишемо середню дохідність та ризик в матричній формі:

${\displaystyle \sigma _{portf}^{2}=W^{T}\cdot v\cdot W}$

${\displaystyle MR_{portf}=m^{T}\cdot W}$,

де ${\displaystyle W}$ — стовпчик невідомих часток ${\displaystyle W_{j}(j={\frac {1}{l}}),v=cov(i_{k};i_{m})}$ — матриця коваріацій; ${\displaystyle m}$ — стовпчик, що складається з ${\displaystyle M(i_{j}),(j={\frac {1}{l}})}$.

Функція Лагранжа має вигляд:

${\displaystyle L=W^{T}VW+\mu _{0}(I^{T}W-1)+\mu _{1}(m^{T}W-MR)}$, де ${\displaystyle I}$ — одинична матриця-стовпчик.

Оптимальний набір часток ${\displaystyle (W_{1}^{*};W_{2}^{*};...;W_{l}^{*})}$ визначається за формулою:

${\displaystyle W^{*}=V^{-1}{\frac {R(I(I^{T}V^{-1}m)-m(I^{T}V^{-1}I))+m(I^{T}V^{-1}m)-I(m^{T}V^{-1}m)}{(I^{T}V^{-1}m)^{2}-(I^{T}V^{-1}I)(m^{T}V^{-1}m)}}}$

Таким чином, страховику необхідно укладати ${\displaystyle X_{k}={\frac {W_{k}^{*}W_{0}}{P_{k}}}}$ договорів перестрахування ${\displaystyle k}$-го виду ${\displaystyle (k={\frac {1}{l}})}$.