Умови прибутковості страхової компанії

Прибуток страхової компанії' — це різниця між страховими внесками клієнтів і їхніми винагородами в разі настання страхових випадків. Прибутковість прийнято вважати основним показником успішної діяльності підрозділу або корпорації в цілому, який надалі враховується її керівниками при нарахуванні премій співробітникам.

Випишемо умови, за яких страхова компанія в середньому буде прибуткова. Розглянемо випадок, коли страхова компанія повністю відшкодовує застрахований актив, тобто q = 1.

Сподіваний прибуток компанії з розрахунку на одного клієнта в цьому разі становитиме величину:
${\displaystyle ((1-\pi \ )r-\pi \ )x(r)\quad (1)}$

Будемо дотримуватись припущення, що всі клієнти страхової компанії однакові. Отже, за певних умов страхування вони всі гуртом страхуватимуться в однакових обсягах, або ухилятимуться взагалі від страхування. Це дає змогу розглядати питання про прибутковість страхової компанії з точки зору взаємовідносин компанії та одного клієнта.

З (1) випливає, що страхова компанія буде прибутковою (в середньому), якщо одночасно виконуються дві умови:
1) клієнт страхує хоча б частку свого активу, тобто:
${\displaystyle x(r)>0\quad (2)}$ ;
2) сподіваний страховий платіж клієнта компанії перевищує сподівану страхову компенсацію компанії клієнтові, тобто:
${\displaystyle (1-\pi \ )r>\pi \ \quad (3)}$ ;

Теорема про рівновагу та її наслідок, коли q = 1, дають умови, за яких клієнт схиляється до страхування.

Згадаємо, що, згідно з наслідком з теореми про рівновагу, якщо q = 1, то:
${\displaystyle {\frac {(1-\pi \ )}{\pi \ }}r>{\frac {x^{\prime }(0)}{x^{\prime }(A)}}\Rightarrow \ x^{*}=0\quad (4)}$
${\displaystyle {\frac {(1-\pi \ )}{\pi \ }}r<{\frac {u^{\prime }(qA)}{u^{\prime }((1-r)A)}}\Rightarrow \ x^{*}=A\quad (5)}$
${\displaystyle {\frac {u^{\prime }(qA)}{u^{\prime }((1-r)A)}}<{\frac {(1-\pi \ )}{\pi \ }}r<{\frac {x^{\prime }(0)}{x^{\prime }(A)}}\Rightarrow \ 0<x^{*}<A\quad (6)}$

Поєднуючи (6) та (3), робимо висновок, що умови прибутковості страхової компанії в середньому будуть такі:
${\displaystyle 1<{\frac {(1-\pi \ )}{\pi \ }}r<{\frac {x^{\prime }(0)}{x^{\prime }(A)}}\quad (7)}$

Варто звернути увагу на цікаву особливість. Порівняння формул (5), (3) та (7) дає підстави стверджувати, що у разі виконання умов, достатніх для того, щоб власник активу страхував його повністю, страхова фірма буде в середньому збитковою.

Цей висновок, до речі, підтверджується розрахунками з Табл.2.

Числовий приклад

Для спрощення розрахунків буде запроваджене додаткове припущення: всі клієнти однакові, тобто мають однакові функції корисності й імовірності страхових випадків. Залишимо основні параметри моделі клієнта незмінними порівняно з прикладом, який розглядався вище, тобто: А = 20 000; імовірність страхового випадку ${\displaystyle \pi \ =0.0001}$ , питомий страховий платіж ${\displaystyle r=0.001}$ ,питома страхова винагорода ${\displaystyle q=1}$ . Система цінностей особи, яка страхується, описана в Табл. 1. Особливостями системи цінностей особи, яка може скористатись послугами страхової компаніії, є те, що найбільш болючими для неї будуть втрати останніх одиниць активу (20 ютилів за кожну тисячу з останніх п'яти). Кожна з наступних п'яти одиниць і втрата перших одиниць — найменш болюча. На відміну від моделі клієнта питомий страховий платіж вже не фіксується й не є об'єктом вибору.

Таблиця 1.Корисність залишку активу після страхового випадку.

Величина активу ${\displaystyle X}$ (в тис.грн)	Гранича корисність ${\displaystyle MU}$	Корисність ${\displaystyle (u(x))}$
0	20	0
1	20	20
2	20	40
3	20	60
4	20	80
5	20	100
6	10	110
7	10	120
8	10	130
9	10	140
10	10	150
11	5	155
12	5	160
13	5	165
14	5	170
15	5	175
16	1	176
17	1	177
18	1	178
19	1	179
20	1	180

Якщо клієнт не страхується зовсім, то він матиме, як і раніше, актив обсягом 20 000 за відсутності страхового випадку, та нічого, якщо страховий випадок трапиться. З точки зору корисності, він матиме 180 ютилів (див. табл.1) з імовірністю 0,9999 та нічого з імовірністю 0,0001.

Сподівана корисність становитиме:

0,9999 х 180 + 0,0001 х 0 = 179,982.

Якщо клієнт страхує 4 000, то у разі відсутності страхового випадку то у нього залишається:

20 000 — 4 000 х 0,001 = 19,996, а в разі страхового випадку — 4 000 гривень, корисність першої суми згідно з табл.1., становитиме 179,996, другої — 80. Звідси, сподівана корисність дорівнюватиме 179,996 х 0,9999 + 80 х 0,0001 = 179,986. Таким чином, для особи з функцією корисності, яка відображена в таблиці 1 та страхування обсягом 4 000 є більш привабливим порівняно з випадком коли особа взагалі не страхується.

Таблиця 2. Страхові платежі (r) та сподіваний прибуток страхової фірми, що припадає на одного клієнта.

${\displaystyle r*0.0001}$	${\displaystyle ((1-\pi \ )r-\pi \ )}$
0	2,00
1	0,00
2	1,50
3	3,00
4	4,50
5	5,00
6	5,00
7	6,00
8	7,00
9	8,00
10	6,75
11	5,00
12	5,50
13	6,00
14	6,50
15	7,00
16	7,50
17	8,00
18	8,50
19	9,00
20	4,75

Теорему остаточно доведено на числовому прикладі на основі Таблиці 2.