Дизайн механізмів

Принцип виявлення

Якщо функція соціального вибору ${\displaystyle \Gamma }$ слабо реалізовна в домінівних стратегіях за допомогою механізму ${\displaystyle (S,\gamma )}$, то ${\displaystyle \Gamma }$ правдиво реалізовна в домінівних стратегіях за допомогою прямого механізму ${\displaystyle (V,\Gamma )}$.

На малюнку Принцип виявлення наведено реалізацію функції соціального вибору:

• механізму ${\displaystyle (S,\gamma )}$. Виходячи профілю переваги ${\displaystyle v}$ зі множини ${\displaystyle V}$ агент вибирає стратегії ${\displaystyle (s^{1}(v^{1}),s^{2}(v^{2}),s^{3}(v^{3}),...)}$, які мають рівновагу, підмножину ${\displaystyle S}$. Функція результатів має рівноважні стратегії на множині соціальних станів ${\displaystyle \Theta }$. Частина рівноваг (всі — за повної реалізації) приводять до соціального стану ${\displaystyle \theta }$.
• прямого механізму ${\displaystyle (V,\Gamma )}$. Функція соціального вибору використовується як механізм із профілем переваги ${\displaystyle v}$ зі множини ${\displaystyle V}$, що дає відразу ${\displaystyle \theta }$.

Теорема Кларка — Гровса. Механізм Гровса — механізм прямого виявлення ${\displaystyle \Gamma =(\Theta _{1},...,\Theta _{I},f())}$, в якому ${\displaystyle f()=(k(),t_{1}(),...,t_{I}())}$ задовольняє умовам:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{I}v_{i}(k(\theta ),\theta _{i})\geq \sum _{i=1}^{I}v_{i}(k,\theta _{i})}$ для всіх ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ і ${\displaystyle k\in K}$

${\displaystyle t_{i}(\theta )=(\sum _{I\neq j}v_{j}(k^{*}(\theta ),\theta _{j})+h_{i}(\theta _{-i})}$,

де ${\displaystyle h_{i}()}$ — довільна функція ${\displaystyle \theta _{-i}}$[15].

Механізм Кларка (механізм ключових учасників) — особливий випадок механізму Гровса, що задовольняє умовам:

${\displaystyle h_{i}(\theta _{-i})=-\sum _{i\neq j}v_{j}(k_{-i}^{*}(\theta _{-i}),\theta _{j})}$

${\displaystyle \sum _{j\neq i}^{I}v_{j}(k_{-i}^{*}(\theta _{-i}),\theta _{j})\geq \sum _{j\neq i}^{I}v_{j}(k,\theta _{j})}$ для всіх ${\displaystyle k\in K}$

${\displaystyle t_{i}(\theta )=\sum _{j\neq i}v_{j}(k^{*}(\theta ),\theta _{j})-\sum _{j\neq i}v_{j}(k_{-i}^{*}(\theta _{-i}),\theta _{j})}$,

де ${\displaystyle t_{i}\in R}$ — трансферт товару-вимірювача («грошей») агенту ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle k}$ - елемент скінченної множини K («вибір проєкту»)[15].

У механізмі Кларка агент ${\displaystyle i}$, як ключовий для ефективного вибору проєкту, платить податок, рівний впливу його рішення на інших учасників, і не платить нічого в іншому випадку[15].

У випадках добровільної участі агентів у функціюванні механізмів функція соціального вибору має бути сумісною за стимулами і задовольняти обмеженням участі (або індивідуальної раціональності).

Теорема Маєрсона — Саттертвейта. При двосторонній торгівлі, в якій покупець і продавець нейтральні до ризику, оцінки ${\displaystyle \theta _{1}}$ і ${\displaystyle \theta _{2}}$ вибираються випадковим і незалежним способом з інтервалу ${\displaystyle [{\underline {B}},{\overline {B}}]\forall R}$ і ${\displaystyle [{\underline {S}},{\overline {S}}]\forall R}$ з додатними щільностями, з непорожнім перетином. А отже, не існує баєсівської сумісної за стимулами функції соціального вибору, яка ex-post ефективна і дає покупцю і продавцю будь-якого типу невід'ємну очікувану вигоду від участі[15].

Наслідок теореми: ніякий інститут добровільної торгівлі, який встановлює правила взаємодії покупця і продавця, не може мати рівноваги по Баєсом — Нешом, що веде до ex-post ефективного результату для всіх можливих реалізацій типів покупця і продавця[15]. Наявність приватної інформації та добровільної участі виключає досягнення ефективності ex-post[15].