Дифузійний метод Монте-Карло

Щоб обґрунтувати алгоритм, давайте розглянемо рівняння Шредінгера для частинки в деякому потенціалі в однjвимірному просторі:

${\displaystyle i{\frac {d\Psi (x,t)}{dt}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\Psi (x,t)}{dx^{2}}}+V(x)\Psi (x,t).}$

Ми можемо скоротити позначення трохи, написавши його в термінах операторного рівняння, отже

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)}$.

Отже, отримаємо 

${\displaystyle i{\frac {d\Psi (x,t)}{dt}}=H\Psi (x,t),}$

де ми повинні мати на увазі, що H є оператором, а не простим числом або функцією. Є спеціальні функції, які називаються власними функціями, для яких ${\displaystyle }$, де E - число. Ці функції є особливими, тому що незалежно від того, де ми оцінюємо дію  оператора H на хвильову функцію, ми завжди отримуємо те ж число E, тобто ці функції називаються стаціонарними станами, тому що похідна по часу в будь-якій точці x завжди однакові, тому амплітуди хвильової функції не змінюється у часі. Так як загальна фаза хвильової функції не піддаються вимірюванню, система не змінюється у часі.

Насправді нас цікавить хвильова функція з найнижчою енергією на власні значення, в основному стані. Ми збираємося написати трохи іншу версію рівняння Шредінгера, яке буде мати ту ж енергію власного значення, але, замість того, щоб бути коливальним, воно буде конвергентним:

${\displaystyle -{\frac {d\Psi (x,t)}{dt}}=(H-E_{0})\Psi (x,t)}$.

Ми забрали уявне число з похідної часу і додали його в постійне зміщення  ${\displaystyle E_{0}}$,що є енергією основного стану. Ми фактично не знаємо енергії основного стану, але  буде спосіб визначити його самостійно, який ми представимо пізніше. Наше модифіковане рівняння (деякі називають це уявним у часі рівнянням Шредінгера) мають деякі приємні властивості. Перше, що потрібно помітити, полягає в тому, що якщо ми вгадаємо хвильову функцію основного стану, тоді ${\displaystyle H\Phi _{0}(x)=E_{0}\Phi _{0}(x)}$ і похідна по часу доровнюватимуть нулю. Тепер припустимо, що ми починаємо з іншої хвильової функції(${\displaystyle \Psi }$), який є не основним станом, але не ортогональним до нього. Тоді ми зможемо записати це як лінійну суму власних функцій:

${\displaystyle \Psi =c_{0}\Phi _{0}+\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}\Phi _{i}}$

Оскільки це лінійне диференціальне рівняння, ми можемо подивитися на дію кожної частини окремо. Ми вже визначили, що ${\displaystyle }$ є стаціонарним. Припустимо, ми беремо ${\displaystyle }$. Оскільки  ${\displaystyle }$ це  власна функція з низькою енергією, асоційована з  власним числом  ${\displaystyle }$ задовольняє властивості ${\displaystyle }$. Таким чином, похідна по часу від ${\displaystyle }$ від'ємна, а при спрямуванні до нескінчаності промує но нуля. Зилишається тільки основний стан. Це спостереження також дає нам спосіб визначити ${\displaystyle }$. Ми розглянемо амплітуду хвильової функції, коли ми поширюємося через час. Якщо воно збільшується, то зменште оцінку енергії зсуву. Якщо амплітуда зменшується, то збільшуйте оцінку енергії зміщення.

Тепер у нас є рівняння, яке, як ми поширюємо його у часі та корегуємо ${\displaystyle }$ відповідно, ми знаходимо основний стан будь-якого даного Гамільтоніану. Проте це ще складніше, ніж класична механіка, оскільки, замість розповсюдження єдиних позицій частинок, ми повинні поширювати цілі функції. У класичній механіці ми могли б імітувати рух частинок шляхом встановлення ${\displaystyle }$якщо ми припустимо, що сила постійна протягом проміжку часу від ${\displaystyle }$. Для уявного рівняння  Шредінгера по часу , замість цього,  поширюєно його  у часі за допомогою згортки інтеграла з особливою функцією , що  називається функцією Гріна. Таким чином ми отримуємо ${\displaystyle }$. Подібно до класичної механіки, ми можемо поширюватися лише на невеликі відрізки часу; інакше функція Гріна є  неточною. Коли кількість часток зростає, збільшується і розмірність інтеграла, оскільки ми повинні інтегрувати по всіх координатах всіх частинок. Ми можемо знайти ці інтеграли за допомогою інтеграції Монте-Карло.

• Школа моделювання Львівського університету ім. І. Франка