Доведення без слів
У математиці доведення без слів (або візуальна демонстрація) - це доведення тотожності або математичного твердження, яке можна продемонструвати як очевидне за допомогою схеми, малюнка, без будь-якого супровідного пояснювального тексту. Такі доведення вважаються більш елегантними, ніж математично більш строгі, через їх очевидний характер. [1]
Візуальні доведення доповнюють формальні словесні (письмові) доведення.
Приклади
Сума непарних чисел
![](../I/Proofwithoutwords.svg.png.webp)
Твердження, що сума будь-якої кількості послідовних непарних чисел (починаючи з 1) завжди дорівнює квадрату кількості чисел, які додаються, можна продемонструвати доведенням без слів, яке показане на малюнку праворуч.
Перший квадрат утворений 1 блоком: 1 = 1= 12
Другий квадрат утворений 1 чорним блоком і смужкою з 3 білих блоків: 1+3 = 4= 22
Наступний квадрат утворений 1 чорним блоком, смужками з 3 білих та 5 чорних блоків: 1+3+5 = 9=32
Цей процес можна продовжувати нескінченно довго.
![](../I/Chinese_pythagoras.jpg.webp)
Теорема Піфагора
Теорема Піфагора має багато доведень без слів.
Існує як мінімум 114 найрізноманітніших підходів до доведення цієї теореми.
Написана між 500 до н. е. і 200 до н. е., китайська математична книга «Чу Пей» (кит. 周髀算经) дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема Гугу (кит. 勾股定理), для трикутника із сторонами 3, 4, 5.
![](../I/%D0%92%D1%96%D0%B7%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%9F%D1%96%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%96%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%91%D1%85%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B0.png.webp)
Доведення базується на двох різних обчисленнях площі великого квадрата та дає відоме співвідношення між сторонами прямокутного трикутника:
Хоч це доведення не є найбільш ілюстративним, та заслуговує на те, щоб бути відомим, як одне з найдавніших відомих доведень цієї теореми. Індійський математик Бхаскара (1114 - 1185 до н.е.) довів теорему Піфагора, намалювавши простий малюнок малюнок.
Обчислюємо площу великого квадрата двома способами:
S=
Площа великого квадрата дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників та маленького квадрата
![](../I/%D0%92%D1%96%D0%B7%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%97.png.webp)
Серед стародавніх індійських математиків практика словесного доведення не користувалася особливою популярністю - вони любили візуальні. Саме в стародавній Індії, як припускають вчені, зародилися перші поняття візуальних доведень
Сума нескінченної спадної геометричної прогресії
Квадрат зі стороною 1 розділили на частини. З малюнка видно, що площа одиничного квадрата дорівнює сумі площ його частин
![](../I/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D1%96%D0%B2.png.webp)
Сума кубів
У теорії чисел існує цікавий зв'язок між сумою послідовних кубів набору натуральних чисел і квадратом суми відповідних чисел. Виглядає це наступним чином:
![](../I/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D1%96%D0%B21.png.webp)
На малюнках зображено візуальне доведення рівності для n=5
Площа великого квадрата (мал. 1) дорівнює
Площа цього ж квадрата (мал. 2) дорівнює
Для інших значень n доведення аналогічне.
Формули скороченого множення
Візуалізуємо доведення формули скороченого множення
![](../I/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F.png.webp)
На першому малюнку площа зафарбованої частини квадрата дорівнює
Якщо фіолетовий прямокутник перекласти так, як показано на другому малюнку, то отримаємо прямокутник, площа якого дорівнює (x+y)(x-y)
Публікації
Журнал «Математика» та « Математичний журнал коледжу» публікують постійну рубрику під назвою «Доведення без слів», що містить, візуальні доведення. [2] На вебсайтах "Мистецтво вирішення проблем" та USAMTS працюють аплети Java, що ілюструють доведення без слів. [3] [4]
Дивитися також
- Теорема про піцу
- Візуальний калькулятор
- Філософія математики
- Сума степенів цілих чисел (формула Фаульхабера),
- Нерівність Дженсена
Примітки
- Dunham, 1994
- Dunham, 1994
- Gallery of Proofs. Art of Problem Solving. Процитовано 28 травня 2015.
- Gallery of Proofs. USA Mathematical Talent Search. Процитовано 28 травня 2015.
Список літератури
- Dunham, William (1994). The Mathematical Universe. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-53656-3.
- Nelsen, Roger B. (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking. Mathematical Association of America. с. 160. ISBN 978-0-88385-700-7.
- Nelsen, Roger B. (2000). Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking. Mathematical Association of America. с. 142. ISBN 0-88385-721-9.