Друга теорема Веєрштрасса

Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$, то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ знайдуться точки ${\displaystyle x_{1}}$ та ${\displaystyle x_{2}}$ такі, що ${\displaystyle f(x_{1})=M}$, ${\displaystyle f(x_{2})=m}$.

Доведемо, що функція ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ досягає своєї точної верхньої межі ${\displaystyle \!M}$ (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція ${\displaystyle f(x)}$ не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжку ${\displaystyle [a,b]}$. Тоді для всіх точок проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ нерівність ${\displaystyle \!f(x)<M}$ є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ скрізь додатну функцію

Оскільки знаменник ${\displaystyle M-f(x)}$ не обертається в нуль та неперервний на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$, то за теоремою про неперервність частки неперервних функцій, функція ${\displaystyle F(x)}$ також неперервна на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$. У цьому разі, згідно з першою теоремою Веєрштрасса, функція ${\displaystyle F(x)}$ обмежена на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$, тобто знайдеться таке додатне число ${\displaystyle B}$, що для будь-якого ${\displaystyle x}$ з проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ справедлива нерівність:

Її можна переписати (враховуючи що ${\displaystyle M-f(x)>0}$) у такому вигляді:

Це співвідношення правильне для будь-яких точок ${\displaystyle x}$ з проміжку ${\displaystyle [a,b]}$. Воно суперечить тому, що ${\displaystyle M}$ є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції ${\displaystyle f(x)}$ на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$. Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.

Теорему доведено.

• Перша теорема Веєрштрасса
• Неперервна функція
• Карл Веєрштрас
• Теореми Веєрштраса у банахових просторах

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)