Перша теорема Веєрштрасса

Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, то вона обмежена на цьому проміжку[2].

Доведемо, що функція ${\displaystyle f(x)}$ обмежена зверху на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ (обмеженість знизу доводиться аналогічно)[2].

Припустимо протилежне, тобто, що ${\displaystyle f(x)}$ не є обмеженою на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$.

Тоді для будь-якого натурального числа ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n=1,2,...)}$ знайдеться хоча б одна точка ${\displaystyle x_{n}}$ з проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ така, що ${\displaystyle f(x_{n})>n}$ (інакше ${\displaystyle f(x)}$ була б обмежена зверху на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$).

Таким чином, існує послідовність значень ${\displaystyle x_{n}}$ з проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ така, що відповідна їй послідовність значень функції ${\displaystyle {f(x_{n})}}$ є нескінченно великою. Внаслідок теореми Больцано — Веєрштрасса, з послідовності ${\displaystyle {x_{n}}}$ можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки ${\displaystyle c}$, що належить ${\displaystyle [a,b]}$. Позначимо цю послідовність символом ${\displaystyle {x_{k}}}$, ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle (n=1,2,...)}$. Внаслідок неперервності функції ${\displaystyle f(x)}$ у точці ${\displaystyle c}$ відповідна підпослідовність значень функції ${\displaystyle {f(x_{k})}}$ має збігатися до ${\displaystyle {f(c)}}$. Але це неможливо, оскільки підпослідовність ${\displaystyle {f(x_{k})}}$, яку виділено з послідовності ${\displaystyle {f(x_{n})}}$, сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)