Ейконал

У випадку, коли світлові промені чи інші хвилі відбиваються й заломлюються різноманітними об'єктами, фронт хвилі може бути достатньо складним. Проте, якщо розміри перешкод набагато більші за довжину хвилі, в кожному окремому об'ємі простору можна наближено вважати хвилю плоскою й подати її у вигляді

${\displaystyle u=ae^{i\psi }\,}$,

де амплітуда a незначно змінюється в просторі. Величина ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)\,}$ називається ейконалом. Для плоскої монохроматичної хвилі ейконал

${\displaystyle \psi =\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t-\varphi }$.

У загальному випадку ейконал задовільняє рівнянню ейконала, яке називають основним рівнянням геометричної оптики

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{i}}}=0}$

де ${\displaystyle x^{i}}$ - 4-вектори.

У випадку монохроматичного світла, тобто світла із визначеною частотою ω, ейконал можна подати у вигляді

${\displaystyle \psi =-\omega t+\psi _{0}\,}$.

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

${\displaystyle (\nabla \psi _{0})^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$,

де c - швидкість світла у порожнечі.

При розповсюдженні світла в середовищі із залежним від координати показником заломлення ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$, рівняння ейконалу має вигляд:

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

${\displaystyle (\nabla \psi _{0})^{2}=n(\mathbf {r} ){\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$.

Ейконал часто нормують на величину ${\displaystyle \omega ^{2}/c^{2}}$, і тоді

${\displaystyle (\nabla \psi _{0})^{2}=n(\mathbf {r} )}$.

Хвильова поверхня, яка задає фронт хвилі, визначається сталістю ейконала:

${\displaystyle \psi _{0}(x,y,z)={\text{const}}\,}$.

Напрям розповсюдження світла визначається градієнтом ейконала.

Крім оптики поняття ейконала використовується також у квантовій механіці, хвильові рівняння якої мають багато спільного з хвильовими рівняннями оптики, особливо у випадку малої довжини хвилі в порівнянні із розмірами об'єктів. У цьому випадку хвильова оптика зводиться до геометричної, а квантова механіка переходить до класичної механіки.

В гравітаційному полі рівняння для визначення ейконала набирає вигляду

${\displaystyle g^{ij}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{j}}}=0}$,

де ${\displaystyle g^{ij}}$ задає метрику простору-часу.

• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.