Електричне поле

Електричне поле є особливим станом матерії, відмінним від «класичної» матерії, що складається з матеріальних частинок. Як і інші поля, електричне поле є неперервним, тобто, існує у кожній точці простору і плавно змінюється. Воно не складається з атомів чи будь-яких інших частинок. Відповідно, поле має нескінченну кількість ступенів вільності[6].

Якщо джерело електричного поля рухається, це породжує зміни у полі, що розповсюджуються у ньому зі швидкістю світла.

Електричне поле, разом з магнітним полем, складає електромагнітне поле. Проте варто пам'ятати, що відокремити ці частини неможливо — одне й те саме поле може сприйматися як електричне (якщо спостерігач нерухомий відносно заряду), так і як магнітне (якщо він рухається).

Електричне поле є векторним, тобто, у кожній точці простору йому можна поставити у відповідність вектор, що називається напруженістю поля (позначається як ${\displaystyle E}$), довжина якого пропорційна силі, з якою поле діє на заряджені тіла, а напрямок — збігається з напрямом руху пробного позитивного заряду.

Щоб дізнатися силу, з якою поле діє на конкретний поміщений у нього заряд, необхідно помножити напруженість поля у точці на величину цього заряду[7]:

${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {E}}\cdot q}$

У випадку, якщо електричне поле статичне, або змінюється з часом дуже повільно, його можна задати через одну скалярну функцію, потенціал (позначається як ${\displaystyle \varphi }$). У цьому випадку напруженість і потенціал пов'язані рівнянням[8]

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi }$

Різниця потенціалів між двома точками називається напругою, і вимірюється у вольтах. У однорідному електричному полі (тобто, такому, де напруженість постійна, наприклад, у полі між обгортками конденсатора) напруга між двома точками дорівнює ${\displaystyle U=-{\vec {E}}\cdot {\vec {R}}}$, де R — вектор, що поєднує точки[9].

Електричне поле створюється зарядженими тілами, зокрема зарядженими елементарними частинками. Таке поле є потенціальним. Його напруженість визначається законом Кулона. Силові лінії потенціального електричного поля починаються і закінчуються на зарядах або виходять на нескінченність.

За законом електромагнітної індукції електричне поле створюється також змінним магнітним полем. Таке електричне поле — вихрове. Силові лінії вихрового електричного поля замкнені. Зокрема, вихрове електричне поле є складовою електромагнітної хвилі. При переміщені заряду по замкненій кривій у такому полі, виконана робота не рівна нулю[10].

Аналогічно, змінне електричне поле породжує магнітне поле.

Електричне поле підкоряється принципу суперпозиції — величина поля, що створена кількома джерелами може бути розрахована як векторна сума полів у кожній точці[11].

Конфігурації електричних полів, показані через силові лінії

Всі точки, що мають однаковий потенціал, разом утворюють еквіпотенціальну поверхню[12]. Набір еквіпотенціальних поверхонь дозволяє показати на малюнку конфігурацію поля.

Іншим зручним способом зобразити електричне поле є силові лінії. Силовими лініями називають такі лінії, дотична до яких у кожній точці збігається з вектором напруженості поля. У випадку електричних полів зарядів, силові лінії завжди починаються на позитивному заряді, і закінчуються на негативному[13]. У випадку вихрових електричних полів, породжених магнітним полем, силові лінії замкнені. Силові лінії поля не можуть перетинатись. На відміну від еквіпотенціальних поверхонь, силові лінії можуть бути побудовані і для полів, що не можуть бути виражені через потенціал (вихрових).

Електричне поле викликає переміщення вільних зарядів і може виконувати роботу, а це значить, що воно має енергію.

Густина енергії електричного поля залежить від його напруженості як[14]:

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\varepsilon \mathbf {E} ^{2}}$

Для обчислення загальної енергії поля, що міститься в об'ємі V, необхідно інтегрувати цю величину по цьому об'єму.

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\varepsilon \int _{V}\mathbf {E} ^{2}dV}$

Класичний радіус електрона (2,8×10^-15 м) обчислюється, виходячи з припущення, що вся енергія спокою електрона є енергією його електричного поля.

Електричне і магнітне поле у класичній електродинаміці повністю описується чотирма рівняннями Максвелла.

Два з них описують виникнення електричного поля:

• Залежність напруженості поля від розподілу зарядів описується рівнянням

${\displaystyle {\text{div}}\,\mathbf {E} =4\pi \rho }$

• Залежність напруженості поля від зміни магнітного поля описується рівнянням

${\displaystyle {\text{rot}}\,\mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$,

Ще одне з рівнянь Максвелла показує, як зміна електричного поля призводить до виникнення магнітного:

${\displaystyle {\text{rot}}\,\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }$

У квантовій електродинаміці електромагнітне поле розглядається як єдиний об'єкт. Електричне поле визначається відповідним квантовим оператором ${\displaystyle {\hat {E}}}$ [15]:

${\displaystyle {\hat {E}}(z,t)=i\sum _{n}{\sqrt {\hbar \omega _{n}/2\varepsilon _{0}V}}[a_{n}e^{i(\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {z} -w_{n}t)}-a_{n}^{\dagger }e^{-i(\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {z} -w_{n}t)}]}$,

де ${\displaystyle a_{n}^{\dagger }}$ і ${\displaystyle a_{n}}$— оператори народження та знищення, V — об'єм, а сумування проводиться по всіх нормальних модах. Скінченний об'єм дозволяє розглядати скінченну кількість можливих мод.

Цей оператор іноді записують у вигляді[16]:

${\displaystyle {\hat {E}}={\hat {E}}^{(+)}+{\hat {E}}^{(-)}}$,

у якому вклади додатних і від'ємних частот розділені. У такому випадку, ${\displaystyle {\hat {E}}^{(+)}}$ включає члени з ${\displaystyle a_{n}}$, а ${\displaystyle {\hat {E}}^{(-)}}$ включає члени з ${\displaystyle a_{n}^{\dagger }}$.

Оператор електричного поля пов'язаний з оператором векторного потенціалу як:

${\displaystyle {\hat {E}}=-{\frac {\delta {\hat {A}}}{\delta t}}}$

Цікавою особливістю квантового опису є той факт, що у вакуумі, заповненому однорідним електричним полем можуть народжуватися пари частинка-античастинка[17] (це явище відоме як ефект Швінгера).

Електричне поле одиничного точкового заряду є сферично-симетричним, а його напруженість у вакуумі дорівнює[18]

${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r^{2}}}}$,

де ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — діелектрична проникність вакууму. Величину 1/4πε₀ називають електростатичною сталою, і позначають літерою k.

У випадку, якщо заряд знаходиться не у вакуумі, у необхідно врахувати диелектричну проникність середовища[19]:

${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}\cdot {\frac {q}{r^{2}}}}$

Для звичайних матеріалів діелектрична проникність завжди більша за одиницю.

Силові лінії такого поля — прямі, що починаються у заряді, і розходяться в усі сторони, якщо заряд позитивний (у випадку негативного заряду, вони приходять з нескінченності, і закінчуються на заряді).

Заряди на сфері збираються біля її поверхні. Через це всередині сфери напруженість поля буде нульовою. Ззовні сфери поле буде збігатися з полем, яке б створював точковий заряд, зосереджений в центрі сфери[20].

Електричне поле диполя

Електричне поле диполя може бути визначене як векторна сума полів позитивного і негативного зарядів.

Таке поле має циліндричну симетрію (вісь симетрії збігається з віссю диполя).

Для електричного диполя, що складається з двох зарядів ${\displaystyle q}$, що знаходяться на відстані ${\displaystyle a}$, напруженість поля вздовж осі на відстані ${\displaystyle x}$ від ближнього заряду, дорівнює[21]:

${\displaystyle E=kqa{\frac {2x}{(x^{2}-{\frac {a^{2}}{4}})^{2}}}}$.

У випадку, якщо точка лежить не на лінії, що поєднує заряди, вираз для напруженості поля є складним, але якщо ${\displaystyle x\gg a}$, то він спрощується до[22]:

${\displaystyle E=kqa{\frac {2\cos \alpha }{x^{3}}}}$

Тобто, на великій відстані, модуль напруженості електричного поля диполя спадає обернено пропорційно кубу відстані.

Завдяки принципу суперпозиції, електричне поле будь-якої конфігурації зарядів можна розрахувати за допомогою інтегрування, розбиваючи весь простір, у якому знаходяться заряди на малі комірки, і враховуючи окремо поле від кожної з них:

${\displaystyle \mathbf {E} =\iiint \limits _{V}\mathbf {r} {\frac {k\rho \,{\rm {d}}V}{R^{2}}}}$,

де ${\displaystyle \rho }$ — густина розподілу зарядів, а ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — одиничний вектор, що поєднує dV і точку, у якій розраховується поле.

Аналогічно може бути розраховане поле від поверхневих і лінійних джерел — але інтегрувати в цьому випадку необхідно не по об'єму, а по поверхні і вздовж лінії, і використовувати поверхневу і лінійну густину зарядів, відповідно[23].