Елементарні перетворення матриці

Нехай задана матриця А, що складається з m рядків та n стовпців:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:

• множення рядка (стовпця) матриці на число.
• додавання до рядка (стовпця) інший рядок (стовпець), домножений на довільне число.

Дані перетворення також називаються елементарними перетвореннями рядків. Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

• Якщо i-ий рядок матриці A домножити на число α, то А буде виглядати так:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha *a_{i1}&\alpha *a_{i2}&\cdots &\alpha *a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

• Якщо до i-го рядка матриці додати k-ий рядок(домножений на число α), то A буде виглядати так:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}+\alpha *a_{k1}&a_{i2}+\alpha *a_{k2}&\cdots &a_{in}+\alpha *a_{kn}\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Елементарні перетворення матриці можна одержати домноженням зліва на елементарні матриці, що відрізняються від одиничної лише одним елементом. Так матриця, що відповідає множенню i-го рядка на ${\displaystyle \alpha \,}$ має вигляд:

${\displaystyle T_{i}(\alpha )={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\alpha &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

Матриця, що відповідає додаванню до i-го рядка матриці j-го рядка домноженого на число ${\displaystyle \alpha \,}$ має вигляд:

${\displaystyle T_{i,j}(\alpha )={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&\alpha &&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)