Еліпсоїд

Довільно орієнтований еліпсоїд, із центром у точці v, визначається розв'язками x рівняння

${\displaystyle (\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }\!A\,(\mathbf {x-v} )=1,}$

де A це додатноозначена матриця і x, v це вектори.

Власні вектори A визначають головні осі еліпсоїда, а власні значення A це обернені квадрати півосей: ${\displaystyle a^{-2}}$, ${\displaystyle b^{-2}}$ і ${\displaystyle c^{-2}}$[1]. Для інтуїтивного розуміння цієї формули достатньо уявити матрицю ${\displaystyle A}$ як ${\displaystyle Q\Lambda Q^{T}}$.

По суті, еліпсоїди це одиничні кулі піддані афінному перетворенню. Щоб побачити це згадаємо важливий факт щодо додатноозначеної матриці ${\displaystyle A}$, існує матриця ${\displaystyle B}$ така, що ${\displaystyle A=BB^{T}}$. Позначимо еліпсоїд як ${\displaystyle E(a,A)}$. Розглянемо бієктивне афінне перетворення ${\displaystyle T:x\to y=B^{T}(x-a)}$. Воно відображає еліпсоїд в одиничну кулю: ${\displaystyle E(a,A)\to {y:y^{T}y\leq 1}=E(0,I)}$.

${\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}(\phi )\sin ^{2}(\theta )}{a^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin ^{2}(\phi )\sin ^{2}(\theta )}{b^{2}}}+{\frac {r^{2}\cos ^{2}(\theta )}{c^{2}}}=1.}$

${\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}(\theta )}{a^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin ^{2}(\theta )}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$