Додатноозначена матриця
Дода́тно ви́значена ма́триця — окремий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.
Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.
Визначення
Ермітова матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:
- (для ермітових матриць — завжди дійсне число).
- Всі власні значення є додатними числами.
- Задовольняє критерій Сильвестра.
- Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)
- задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).
Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці
- Ермітова матриця називається невід'є́мно ви́значеною (або іноді додатно напіввизначеною), якщо
- Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці — невід'ємні числа.
- Ермітова матриця називається від'є́мно ви́значеною, якщо
- Всі власні значення від'ємно визначеної матриці — від'ємні числа.
Невизначена
Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається неви́значеною. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.
Властивості
- Всі додатньо визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і для них існує обернена матриця.
- Для будь-якої матриці , матриці — будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.
- Якщо — додатньо визначені матриці і — додатне число, тоді матриці
- — також є додатньо визначеними матрицями.
- І якщо (є переставними), тоді — теж є додатньо визначеною.
- Якщо — додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.
- Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.