Жорстке диференціальне рівняння

При використанні для інтегрування жорсткого звичайного диференціального рівняння, явні чисельні методи проявляють нестійкість

Розглянемо задачу Коші

${\displaystyle \,y'(t)=-15y(t),\quad t\geq 0,y(0)=1.\qquad \qquad \qquad \quad \quad (1)}$

Точний розв'язок (блакитним) такий

${\displaystyle y(t)=e^{-15t}\,}$ with ${\displaystyle y(t)\to 0}$ as ${\displaystyle t\to \infty .\qquad \qquad \qquad \qquad (2)}$

Ми шукаємо чисельний розв'язок, який показує таку саму поведінку.

Зображення (праворуч) ілюструє вади різноманітних методів застосованих до цього рівняння.

1. Метод Ейлера з кроком h = 1/4 дико коливається і швидко виходить за межі графу (показано червоним).
2. Метод Ейлера із вдвічі меншим кроком, h = 1/8, призводить до розв'язку у межах графу, але коливається навколо нуля (показано зеленом).
3. Інтегрування за правилом трапецій (тобто, двокроковий метод Адамса-Мултона) заданий як

   ${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})\right).\qquad (3)}$

   Застосування цього метода замість метода Ейлера дає значно кращий результат (синій). Чисельний розв'язок монотонно спадає до нуля, так само як і точний розв'язок.

Припустимо ми маємо частинку з координатами ${\displaystyle (x(t),y(t)),}$ і, припустимо що ми хочемо щоб ${\displaystyle y-}$координата завжди була нулем. Одним зі способів зробити це є додати складову ${\displaystyle -ky(t)}$ до ${\displaystyle y'(t),}$ де ${\displaystyle k}$ це велика додатна стала. Якщо ${\displaystyle k}$ достатньо велика, тоді частинка ніколи не відійде далеко від ${\displaystyle y(t)=0.}$ Однак, припустимо що також існує обмеження на ${\displaystyle x-}$ координату. Отже, нехай ми маємо таке диференціальне рівняння:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Y} }}={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}-x(t)\\-ky(t)\end{pmatrix}}.}$

(Ми також припустимо, що частинка стартує не з положення коли ${\displaystyle y_{0}=0.}$) Таке рівняння має місце коли частинка притягується до лінії ${\displaystyle y=0}$ і не так сильно до ${\displaystyle x=0.}$ Якщо ми розв'яжемо ЗДР достатньо далеко в часі, то ми очікуємо, що частинка прибуде до ${\displaystyle (0,0).}$

Розглянемо застосування метода Ейлера до цього рівняння. Якщо взяти крок ${\displaystyle h,}$ отримуємо

${\displaystyle \mathbf {Y} _{new}=\mathbf {Y} _{0}+h{\dot {\mathbf {Y} }}(t_{0})={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}+h{\begin{pmatrix}-x_{0}\\-ky_{0}\end{pmatrix}}.}$

Що дає

${\displaystyle \mathbf {Y} _{new}={\begin{pmatrix}(1-h)x_{0}\\(1-hk)y_{0})\end{pmatrix}}.}$

Якщо ми розглянемо ${\displaystyle y}$ складову цього рівняння, ми бачимо, що якщо ${\displaystyle |1-hk|>1}$ тоді отримане ${\displaystyle y_{new}}$ матиме абсолютне значення більше ніж ${\displaystyle |y_{0}|.}$ Інакше кажучи, якщо ${\displaystyle |1-hk|>1,}$ метод Ейлера не сходиться до відповіді. Отже, нам краще щоб ${\displaystyle 1-hk>-1}$ або ${\displaystyle hk<2.}$ Найбільший крок який ми можемо взяти мусить бути меншим ніж ${\displaystyle 2/k.}$

Тепер, якщо ${\displaystyle k}$ велика стала, тоді нам доведеться робити дуже маленькі кроки. Тобто частинка зісковзує у напрямку ${\displaystyle (0,0)}$ дуже повільно. Навіть якщо частинка зовсім близько до ${\displaystyle y_{0}=0,}$ нам потрібно робити настільки малі кроки, що її поступ уздовж осі ${\displaystyle x}$ майже непомітний. У цьому випадку жорсткість з'являється через дуже велике ${\displaystyle k.}$