Метод Адамса

Метод Адамса — група методів чисельного інтегрування звичайних диференційних рівнянь, які дозволяють обчислювати таблицю наближених значень розв'язку за даними в початкових точках.

В однокрокових методах для обчислення значения у_n+1 використовується значения тільки у_n і для підвищення точності при фіксованому кроці необхідно проводити обчислення великої кількості допоміжних величин. Це є причиною того, що для багатьох задач застосування формул Рунге-Кутти неможливе внаслідок надто великого обсягу обчислень. Тому часто раціональніше переходити до багатокрокових методів, які дають можливість, використовуючи значення f(x_i,y_i), що обчислені на попередніх кроках, отримати прийнятну точність. Серед k-крокових методів найчастіше використовують методи інтегрування на сітці з постійним кроком, які називаються скінченно-різницевими схемами. Розглянемо загальне диференційне рівняння (1)
$\int \limits _{D}f({\vec {x}})d{\vec {x}}\approx \sum _{i=1}^{N}\omega _{i}f({\vec {x}}^{i})$

Припустимо, що вже відомі розв'язки на множині значень Х_i (і=0,1,. . .,п). Тобто можна записати рівняння (2):

y(x_{n+1})=y_{n}+\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}f(t,y(t))dt

При обчисленні інтеграла в правій частині цього виразу підінтегральну функцію замінимо на інтерполяційний многочлен Ньютона для інтерполяції назад $P_{n-1}(x)=f(x_{n})+f(x_{n-1};x_{n})(x-x_{n})+...+f(x_{1};...;x_{n})(x-x_{n})...(x-x_{1})$ на сітці х_п, x_n-1, x_n-2 ,...

При цьому $f(x,y)\equiv f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{n})+a_{2}(x-x_{n})(x-x_{n-1})+...+a_{m}(x-x_{n})...(x-x_{n-m+1})+R_{m}(x)$ де $a_{k}={\frac {\nabla ^{k}f_{n}}{k!h^{k}}}$ і R_m(x) - похибка інтерполяції, яка і буде визначати похибку отриманих нижче формул. Нагадаємо, що $\nabla ^{k}f_{n}$ — скінченні ліві різниці k-го порядку функції f(x,y) в точці х_n. Підставивши в (2) праву частину (1) і знехтувавши оцінкою похибки, отримаємо

\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}f(t,y(t))dt\approx \sum _{k=0}^{m}{\frac {\nabla ^{k}f_{n}}{k!h^{k}}}\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})...(t-x_{n-k+1})dt

Обчислимо декілька перших інтегралів:

k=0,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}dt=h

k=1,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})dt={\frac {h^{2}}{2}}

k=2,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})(t-x_{n-1})dt={\frac {5}{6}}h^{3}

У результаті отримаємо формулу Адамса

y_{n+1}=y_{n}+h[f_{n}+{\frac {1}{2}}\nabla f_{n}+{\frac {5}{12}}\nabla ^{2}f_{n}+{\frac {3}{8}}\nabla ^{3}f_{n}+{\frac {251}{720}}\nabla ^{4}f_{n}+...]

де порядок точності методу збігається з кількістю доданків у квадратних дужках. На практиці, для користування цією формулою залежно від порядку точності, необхідно знати відповідну початкову послідовність значень f_i (а значить і y_i) у вузлах Х_i. Для їх обчислення зазвичай використовують однокроковий метод (наприклад Рунге-Кутти) в початкових точках поблизу x₀, а потім переходять до використання формули Адамса.

Приклади

Розглянемо такий приклад

y'=y,\quad y(0)=1.

Точним розв'язком є $y(t)=\mathrm {e} ^{t}$ .

Однокроковий Ейлер

Простим чисельним методом є метод Ейлера:

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\,

Метод Ейлера можна розглядати як вироджений в однокроковий багатокроковий метод.

Цей метод, застосований з кроком розміру $h={\tfrac {1}{2}}$ на проблемі $y'=y$ , дає такі висліди:

{\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{aligned}}

Двокроковий метод Адамса-Бешфорта

Метод Ейлер однокроковий. Простий багатокроковий метод це двокроковий метод Адамса-Бешфорта (англ. Adams–Bashforth method)

y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).

Цей метод для отримання наступного значення, $y_{n+2}$ , потребує два значення, $y_{n+1}$ і $y_{n}$ . Однак, задача з початковим значенням надає лише одне, $y_{0}=1$ . Один з підходів полягає у використанні $y_{1}$ обчисленого методом Ейлера як другого значення. З таким вибором, метод Адамса-Бешфорта видає (округлено до чотирьох цифр):

{\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}

Точний розв'язок при $t=t_{4}=2$ є $\mathrm {e} ^{2}=7.3891\ldots$ , отже двокроковий метод Адамса-Бешфорта точніший ніж метод Ейлера. Це завжди виконується якщо крок достатньо малий.

Див. також

Джерела

Єжов С.М. Методи обчислень

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.