Задання групи

Нехай T  — деяка множина, а <S>  — вільна група над цією множиною. Нехай тепер R  — деяка множина слів над S тобто деяка підмножина <S>. Позначимо через N нормальне замикання множини R, тобто мінімальну нормальну підгрупу групи <S>, що містить всі елементи R. Визначимо тепер факторгрупу:

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =\langle S\rangle /N.}$

Елементи множини S називаються породжуючими(генеруючими) елементами, а елементи R співвідношеннями. Якщо деяка група ізоморфна до побудованої вище групи ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle ,}$ то кажуть, що ця група має задання ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$ Якщо ${\displaystyle r\in R}$  — деякий елемент множини співвідношень то часто пишуть r=1. Також використовується вираз x=y де ${\displaystyle x,y\in <S>}$ і ${\displaystyle y^{-1}x\in R.}$

• Для кожної групи існує задання

Справді нехай G деяка група. Позначимо через <G> вільну групу над множиною елементів G. Тоді згідно з властивостями вільної групи одиничне відображення з G в G єдиним чином продовжується до гомоморфізму з <G> в G. Позначимо тепер R множину елементів <G>, що входять до ядра цього гомоморфізму. Тоді <G|R> є одним із способів задання групи. Зрозуміло, що це задання є дуже надлишковим.

• Теорема Діка. Якщо ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle .\,\!}$, а ${\displaystyle H=\langle S\mid R\cup R^{'}\rangle .\,\!}$ (тобто множини породжуючих елементів у двох груп однакові і множина співвідношень групи H містить всі співвідношення групи G і, можливо ще й інші) тоді H ізоморфна деякій факторгрупі <G>.

Справді якщо N нормальне замикання R, а N^' нормальне замикання ${\displaystyle R\cup R^{'}}$, тоді ${\displaystyle N\subset N^{'}.}$ Тоді згідно з теоремою про ізоморфізм маємо ${\displaystyle \langle S\rangle /N^{'}=(\langle S\rangle /N)/(N^{'}/N),}$ що й доводить твердження.

В поданій нижче таблиці показані деякі задання груп. Для усіх груп вибрані найпростіші задання.

Група	Задання групи	Коментарі
Вільна група на множині S	${\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	Група вільна бо немає співвідношень.
Cn, циклічна група порядку n	${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle \,\!}$
D2n, дігедральна група порядку 2n	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle \,\!}$	r- поворот, f - симетричне відображення
D∞, безмежна дігедральна група	${\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle \,\!}$
Dicn, діциклічна група	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n}=1,r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle \,\!}$
Z × Z	${\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle \,\!}$
Zm × Zn	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{m}=1,y^{n}=1,xy=yx\rangle \,\!}$
Вільна абелева група S	${\displaystyle \langle S\mid R\rangle \,\!}$ де R множина всіх комутаторів елементів S
Симетрична група, Sn	породжуючі елементи: ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ співвідношення: ${\displaystyle {\sigma _{i}}^{2}=1}$, ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$, ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$	Тут ${\displaystyle \sigma _{i}}$ перестановка, що міняє місцями i -ий елемент з i+1 -им.
the braid group, Bn	породжуючі елементи: ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ співвідношення: ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$, ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$
Тетраедральна група, T ≅ A4	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle \,\!}$
Октаедральна група, O ≅ S4	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle \,\!}$
Ікосаедральна група, I ≅ A5	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \,\!}$
Група кватерніонів, Q	${\displaystyle \langle i,j\mid i^{4},i^{2}j^{2},ijij^{-1}\rangle \,\!}$
${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle \,\!}$
${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle \,\!}$
${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle \,\!}$	PSL2(Z) є вільним добутком циклічних груп Z2 і Z3
Група Гейзенберга	${\displaystyle \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle \,\!}$
Група Баумслага — Солітера, B(m,n)	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle \,\!}$
Група Тітса	${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=(ababababab^{-1})^{6}=1,}$

• Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжуючих елементів, то така група називається скінченнопородженою.
• Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжуючих елементів і скінченною множиною співвідношень, то така група називається скінченнозаданою.

• Перетворення Тітце

• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Johnson, D. L. (1990). Presentations of Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37824-9
• Курош А. Г. Теория Групп, М.: Наука 1967 г.