Група Баумслага — Солітера

Група Баумслага — Солітера — група з двома твірними $a$ і $b$ і одним співвідношенням

ab^{m}a^{-1}=b^{n}.

BS(1,2)

.

Зазвичай, цю групу позначають $BS(m,n)$ .

Приклади і властивості

$BS(1,1)$ це вільна абелева група з двома твірними.
$BS(1,-1)$ фундаментальна група пляшки Кляйна.
$BS(1,n)$ при $n>1$ ізоморфна підгрупі групи афінних перетворень дійсної прямої, породжена відображеннями $a:x\to nx$ і $b:x\to x+1$ .
Група $BS(2,3)$ (поряд з іншими групами $BS(m,n)$ , для яких множини простих дільників чисел m і n не збігаються) є найвідомішим прикладом негопфової групи[1]. А саме, епіморфізм $\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$ не є автоморфізмом $BS(2,3)$ .
Група $BS(n,m)$ $\text{[math]}$ допускає лінійне подання $a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ $\text{[math]}$ і $b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ $\text{[math]}$ .
- Це подання не є ефективним, тобто різні елементи групи можуть відповідати одному лінійному оператору.
Група $BS(m,n)$ залишково скінченна тоді й лише тоді, коли $|m|=1$ , $|n|=1$ , або $|m|=|n|$ [2].

D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups

DJ Collins (2001), "Baumslag-Solitar group ", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR 0142635

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.