Вільна абелева група

Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості

Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
Для довільного кардинального числа $\kappa \,$ існує вільна абелева група рангу $\kappa \,$ .
Нехай $\ G$ — вільна абелева група і $\ A$ — абелева група. Якщо існує епіморфізм $\ h\colon A\to G$ , то існує підгрупа $\ F$ групи $\ A$ ізоморфна групі $\ G$ така, що $A=F\oplus \ker h$ .
Будь-яка абелева група $\ A$ гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група $A\,$ має множину генераторів потужності $~\kappa$ то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу $\kappa \,$ . Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою. У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай $\ A$ $\text{[math]}$ — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа $\ H$ $\text{[math]}$ цієї групи є вільною абелевою групою рангу $r\leqslant n$ $\text{[math]}$ і можна вибрати такий базис $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $\text{[math]}$ групи $\ A$ $\text{[math]}$ і натуральні числа $m_{i},~i=1,\ldots ,r,$ $\text{[math]}$ що
- Множина $m_{1}x_{1},\ldots ,m_{r}x_{r}$ є базисом підгрупи $\ H;$
- $m_{i}$ ділиться на $m_{i-1}$ для всіх $i=2,\ldots ,r.$

Приклади

Група $\mathbb {Z} ^{+}$ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин $\{1\},\{-1\}\,$ .
Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина $\ \{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$ .

Література

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.