Задача про розорення гравця

Розорення гравця — термін, що застосовується для позначення кількох пов'язаних концепцій теорії ймовірностей, а саме:

  • гравець який піднімає ставку на фіксовану частку банкролу, коли виграє, та не зменшує ставку при програші, коли-небудь обов'язково розориться, навіть якщо математичне сподівання виграшу додатне.
  • гравець з обмеженим капіталом, що грає в чесну гру (в якій матсподівання виграшу для обох гравців нульове) коли-небудь програє проти гравця з необмеженим капіталом.
  • Попередній результат є висновком з однойменної теореми Гюйгенса. Теорема показує як обчислити ймовірність того, що один з гравців виграє послідовність ставок, яка триває доки в іншого гравця не закінчиться стек, якщо відомі стеки обох гравців, та ймовірність виграшу кожної ставки. І це напевне найстаріше математичне поняття відоме під цим ім'ям.
  • Найпоширеніше застосування цього терміну сьогодні — це очевидний факт того, що гравець, який грає в гру з від'ємним сподіванням виграшу, обов'язково програє, незалежно від того, яким чином він робитиме ставки. Це ще один висновок з теореми Гюйгенса про розорення гравця.

Теорема Гюйгенса про розорення гравця

Нехай у результаті кожного туру гри капітал гравця змінюється на одну копійку (±1). Гра закінчується при виконанні однієї із наступних умов: або гравець набирає капітал копійок, або розорюється, тобто набирає 0 копійок. Знайти ймовірність розорення гравця.

Розв'язок

Нехай x — початковий капітал гравця. Тоді використавши формулу повної ймовірності, якісь різницеві рівняння та числові ряди, ми дізнаємось, що ймовірність розорення дорівнює

Джерела


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.