Збіжність за розподілом

Нехай дано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ і на ньому визначені випадкові величини ${\displaystyle X,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m},\,n=1,2,\ldots }$. Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, що називається розподілом.

Випадкові величини ${\displaystyle X_{n}}$ збігаються за розподілом до випадкової величини ${\displaystyle X}$, якщо розподіли ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X_{n}}}$ слабко збігаються до розподілу ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$, тобто

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)}$

для будь-якої борелевої функції ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$.

• Користуючись теоремою про заміну міри в інтегралі Лебега, остання рівність може бути переписана так:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} f(X_{n})=\mathbb {E} f(X)}$.

• Границя за розподілом не єдина. Якщо розподіли двох випадкових величин ідентичні, то вони або обидва є границею за розподілом послідовності випадкових величин або обидва не є.

• Випадкові величини ${\displaystyle X_{n}}$ збігаються за розподілом до ${\displaystyle X}$, якщо їх функції розподілу ${\displaystyle F_{X_{n}}}$ збігаються до функції розподілу границі ${\displaystyle F_{X}}$ у всіх точках неперервності останньої:

${\displaystyle F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)}$.

• Якщо всі випадкові величини в означенні дискретні, то ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$ тоді і тільки тоді, коли є збіжність функцій імовірності:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }p_{X_{n}}(x)=p_{X}(x)}$.

• Якщо всі випадкові величини в означенні абсолютно неперервні, і їх щільності збігаються:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{X_{n}}(x)\to f_{X}(x)}$ майже скрізь, то ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$. Обернене, взагалі кажучи, невірно!

• Зі збіжності за ймовірністю (а, отже, і збіжності майже скрізь і в ${\displaystyle L^{p}}$) випливає збіжність за розподілом:

${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }X\Rightarrow X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$.

Обернене, взагалі кажучи, невірно.

• Теорема Слуцького

• Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.