Звуження функції

Нехай дано відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ і ${\displaystyle M\subset X}$.

Функцію ${\displaystyle g\colon M\to Y}$, яка набуває на ${\displaystyle M}$ тих самих значень, що й функція ${\displaystyle f}$, називають звуженням (або, інакше обмеженням) функції ${\displaystyle f}$ на множину ${\displaystyle M}$.

• Найзагальніше визначення звуження реалізується в контексті пучків^{[уточнити]}.
• Для функції ${\displaystyle f:A\to B}$ розглядають також звуження на підмножину ${\displaystyle A\times B}$

Якщо функція ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ така, що вона є звуженням для деякої функції ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, то функцію ${\displaystyle f}$, відповідно, називають продовженням функції ${\displaystyle g}$ на множину ${\displaystyle X}$.

Маючи деяку функцію ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, її можна продовжити нескінченним числом способів на множину ${\displaystyle M\supset X}$, зокрема й неперервним способом. Однак, якщо функція ${\displaystyle f}$ — аналітична функція в ${\displaystyle X}$, то існує єдине аналітичне продовження на ${\displaystyle M}$.

• Оператор сліду