Коефіцієнт ексцесу

Коефіцієнт ексцесу (англ. Kurtosis) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою.[1]

Графік щільності розподілу Пірсона VII типу; нескінченний ексцес (червона), 2 (синя), та 0 (чорна) криві.

Визначення

Ексцесом $\gamma _{2}$ (за Фішером) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за такою формулою:[1]

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3

,

де $\mu _{4}$ — центральний момент четвертого порядку, $\sigma ^{2}$ — дисперсія.

Оцінка ексцесу

Оцінка ексцесу (за Фішером) $\gamma _{2}$ дорівнює:[2]

g_{2}={\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}},

де $k$ є k-статистиками.

Дисперсія оцінки для нормального розподілу дорівнює:

\mathrm {var} (g_{2})\approx {\frac {24}{N}}.

Коефіцієнт ексцесу Пірсона

Коефіцієнт ексцесу Пірсона $\beta _{2}$ (англ. Pearson Kurtosis) дорівнює:[2]

\beta _{2}\equiv {\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}.

Властивості

Для нормального розподілу $(\mu _{4}/\sigma ^{4})=3$ ; із чого випливає, що ексцес нормального розподілу дорівнює нулю. Якщо ексцес деякого розподілу відмінний від нуля, то крива щільності цього розподілу відрізняється від кривої щільності нормального розподілу: якщо ексцес додатній, то крива теоретичного має вищу та «гострішу» вершину ніж крива нормального; якщо ексцес від'ємний, то крива теоретичного має нижчу та «плоскішу» вершину ніж крива нормального. При цьому вважається, що нормальний і теоретичний розподіли мають однакові математичні сподівання та дисперсії.[1]

Посилання

Гмурман В. Е. (2003). Теория вероятностей и математическая статистика (вид. 9-те). Высшая школа.
Weisstein, Eric W. (1999). CRC concise encyclopedia of mathematics. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-9640-9.

Див. також

Коефіцієнт асиметрії

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[gmyrman-1] Гмурман В. Е. (2003). Теория вероятностей и математическая статистика (вид. 9-те). Высшая школа.

[wolfram-2] Weisstein, Eric W. (1999). CRC concise encyclopedia of mathematics. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-9640-9.